ZUR THEORIE DER NEUEN TRANSSCENDENTEN. IV. 
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21. (.Fxf-\-[Qoc) 2 = 2 [Pocoßf 
und aus der Multiplication von 18 und 21 mit Zuziehung von 14 
22. [Pxf— [Qxf = [Rxf 
Man sieht also, dass [Pxx) 2 das arithmetische Mittel zwischen [Px) 2 und 
(Qx) 2 ist, und da nach 13. die Grösse [Qxxf das geometrische Mittel zwischen 
denselben Grössen verstellt und da (Theor. attract. el. p.) wenn zwei Grössen 
reihen 
m, m, m", m”. . . 
t ft w 
n, n, n , n ... 
so verbunden sind, dass immer das arithmetische n( k ^ das geometrische 
Mittel zwischen m^~^ und n^~~‘^ ist, man die gemeinschaftliche Grenze das arith 
metisch geometrische Mittel von m, n oder von irgend ein Paar zusammengehö 
rigen Grössen der beiden Reihen nennt, so ergibt sich das höchst wichtige 
Theorem (23): 
Das Arithmetisch Geometrische Mittel zwischen [Px) 2 und {Qx) 2 ist alle 
mal = 1. 
Nach dem, was wir am angezeigten Orte bewiesen haben, ist also auch 
24. das Integral J y/((P x y cos <p* + (Qa:) 4 sin cp 2 ) 
von cp = 0 bis cp = 2tc ausgedehnt = 2tc oder auch von cp = 0 bis cp = -fc/ciz, 
wenn Je irgend eine ganze Zahl bedeutet, =. \ Jen. 
6. 
Um den Zusammenhang des Algorithmus des arithmetisch geometrischen 
Mittels mit unsern Functionen noch weiter zu entwickeln, bemerken wir zuvör 
derst, dass wenn 
£ = und m = \iPx 2 , n = \iQx 2 , mm—nn = p(a(R) 4 
gesetzt wird, man hat 
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