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BEITEÄGE ZUE THEOEIE 
hen alle auf eben so vielen verschiedenen Grundlagen, aber darin kommen sie 
alle überein, dass durch jeden derselben zunächst nur das Vorhandensein Eines 
Factors der betreffenden Function erwiesen wird. Der Strenge der Beweise thut 
dies allerdings keinen Eintrag: denn es ist klar, dass wenn von der vorgegebe 
nen Function dieser eine Factor abgelöset wird, eine ähnliche Function von nie 
derer Ordnung zurückbleibt, auf welche der Lehrsatz aufs neue angewandt wer 
den kann, und dass durch Wiederholung des Verfahrens zuletzt eine vollständige 
Zerlegung der ursprünglichen Function in Factoren der bezeichneten Art hervor 
gehen wird. Indessen gewinnt ohne Zweifel jede Beweisführung eine höhere 
Vollendung, wenn nachgewiesen wird, dass sie geeignet ist, das Vorhandensein 
der sämmtlichen Factoren unmittelbar anschaulich zu machen. Dass der erste 
Beweis in diesem Fall ist, habe ich bereits in der gedachten Denkschrift angedeu 
tet (Art. 23), ohne es dort weiter auszuführen: dies soll jetzt ergänzt werden, 
und ich benutze zugleich diese Gelegenheit, die Hauptmomente des ganzen Be 
weises in einer abgeänderten und, wie ich glaube, eine vergrösserte Klarheit 
darbietenden Gestalt zu wiederholen. Was dabei die äussere Einkleidung 
des Lehrsatzes selbst betrifft, so war die 1799 gebrauchte, dass die Function 
x n -\- Ax n ~ l 2 -f-u. s, w. sich in reelle Factoren erster oder zweiter Ord 
nung zerlegen lässt, damals deshalb gewählt, weil alle Einmischung imaginärer 
Grössen vermieden werden sollte. Gegenwärtig, wo der Begriff der complexen 
Grössen jedermann geläufig ist, scheint es angemessener, jene Form fahren zu 
lassen und den Satz so auszusprechen, dass jene Function sich in n einfache 
Factoren zerlegen lasse, wo dann die constanten Theile dieser Factoren nicht eben 
reelle Grössen zu sein brauchen, sondern für dieselben auch jede complexen Wer- 
the zulässig sein müssen. Bei dieser Einkleidung gewinnt selbst der Satz noch 
an Allgemeinheit, weil dann die Beschränkung auf reelle Werthe auch bei den 
Coefficienten A, B u. s, w. nicht vorausgesetzt zu werden braucht, vielmehr jed 
wede Werthe für dieselben zulässig bleiben. 
1. 
Wir betrachten demnach die Function der unbestimmten Grösse x 
x 11 -)- Ax n ~ 1 -J- Bx n ~~' 2 -¡- u.s. w. -f-MV'-j-V = X 
wo A, B .... M, N bestimmte reelle oder imaginäre Coefficienten vorstellen.