DER ALGEBRAISCHEN GLEICHUNGEN. 
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Aus der Elementaralgebra ist der Zusammenhang zwischen den Wurzeln der Glei 
chung X = 0 und den einfachen Factoren von X bekannt. Geschieht nemlich 
jener Gleichung durch die Substitution x—p Genüge, so ist x—p ein Factor 
von X, und gibt es n verschiedene Arten, jener Gleichung Genüge zu leisten, 
nemlich durch x — p, x = p, x — p u. s. w., so wird das Product (<2?—p) 
[x—p)(x—p") .... mit X identisch sein. Unter besondern Umständen kann 
aber auch eine Auflösung, wie x=p, in X den Factor (<2?—p)'\ oder [x—p) 3 
oder irgend eine höhere Potenz bedingen, in welchen Fällen man die Wurzel p 
wie zweimal, dreimal u. s.w. vorhanden betrachtet. 
Verlangt man also nur den Beweis, dass die Function X gewiss einen ein 
fachen Factor zulasse, so ist es zureichend, nur das Vorhandensein irgend einer 
Wurzel der Gleichung X =n 0 nachzuweisen. Soll aber die vollständige Zerleg 
barkeit der Function in einfache Factoren auf Einmal bewiesen werden, so muss 
gezeigt werden, dass der Gleichung X = 0 Genüge geleistet werden kann, ent 
weder durch n ungleiche Werthe von x, oder durch eine zwar geringere Anzahl 
ungleicher Auflösungen, wovon aber ein Theil die Charactere der mehrfach gel 
tenden gleichen Wurzeln dergestalt an sich trägt, dass die Zusammenzählung al 
ler ungleichen und gleichen die Totalsumme = n hervorbringt. 
2. 
Das ganze Gebiet der complexen Grössen, in welchem die der Gleichung 
X = 0 genügenden Werthe von x gesucht werden sollen, ist ein Unendliches 
von zwei Dimensionen, indem, wenn ein solcher Werth x= gesetzt wird 
(wo i immer die imaginäre Einheit \]—l bedeutet), für t und u alle reellen 
Werthe von — 00 bis -J- 00 zulässig sind. Wir haben nun zuvörderst aus die 
sem unendlichen Gebiete ein abgegrenztes endliches auszuscheiden, ausserhalb 
dessen gewiss keine Wurzel der bestimmten Gleichung X = 0 liegen kann. 
Dies kann auf mehr als Eine Art geschehen: unserm Zweck am meisten gemäss 
scheint die folgende zu sein. 
Anstatt der Form t-\-iu gebrauche man diese 
x — r (cos p -f - i sin p) 
wonach zur Umfassung des ganzen unendlichen Gebiets der complexen Grössen 
r durch alle positiven Werthe von 0 bis -j-00, und p von 0 bis 360°, oder, was 
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