10
THEORIA COMBINATIONS OBSERVATIONUM
10.
Quamquam relatio inter X et {x ab indole functionis cp<r pendet, tamen
quaedam generalia stabilire licet. Scilicet qualiscunque sit haec functio, si modo
ita est comparata, ut ipsius valor, crescente valore absoluto ipsius oc, semper de
crescat, vel saltem non crescat, certo erit
X minor vel saltem non maior quam pty/ 3 , quoties ¡jl est minor quam
X non maior quam quoties p est maior quam |.
Pro (i, = uterque limes coincidit. puta X nequit esse maior quam \J .
Ut hoc insigne theorema demonstremus, denotemus per y valorem inte
gratis Apz.dz a z — —x usque ad z = -\-x extensi, quo pacto y erit proba
bilitas, quod error aliquis contentus sit intra limites —x et -\~x. Porro sta
tuamus
= <\>y, dtyy = tyy.dy, dtyy = <\>”ydy
x
Erit itaque ^ 0 = 0 , nec non
cp# + cp(—x)
quare per hyp. <J>'y ab y = 0 usque ad y = 1 semper crescet, saltem nullibi
decrescet, sive, quod idem est, valor ipsius cj "y semper erit positivus, vel sal
tem non negativus. Porro habemus d .ytyy — tyy dy -\-y ty'y Ay, adeoque
ytyy — tyy =fy tyy-dy
integratione ab y~ 0 inchoata. Valor expressionis y ^y — <\y itaque semper
erit quantitas positiva, saltem non negativa, adeoque
±y_
ytyy
quantitas positiva unitate minor. Sit f eius valor pro y = {a , i. e. quum ha
beatur ^{jl==X?w, sit
His ita praeparatis, consideremus functionem ipsius y hanc
quam statuemus = Fy, nec non dFy = Fy.dy. Perspicuum est, fieri