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ALLGEMEINE AUFLÖSUNG DER AUFGABE 
Insofern die Abbildung gewissen Bedingungen Genüge leisten soll, werden diese 
Functionen nicht mehr willkürlich sein dürfen. Indem dadurch auch X, Y’ Z 
zu Functionen von t und u w r erden, müssen diese Functionen, neben der Bedin 
gung, welche die Natur der zweiten Fläche yorschreibt, auch noch derjenigen 
Genüge leisten, welche in der Abbildung erfüllt werden soll. 
4. 
Die Aufgabe der königlichen Gesellschaft der Wissenschaften schreibt vor, 
dass die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen ähnlich sein soll. 
Es kommt zuvörderst darauf an, diese Bedingung analytisch auszudrücken. 
Aus der Differentiation der Functionen von t, u, durch welche x,y, z, X, F, Z 
ausgedrückt werden, mögen folgende Gleichungen hervorgehen: 
da? = a dt -\-ddu 
dy = bdt -\-b'du 
dz = cd^ -\-cdu 
dX = Adt-^-Ädu 
d Y = Bdt-\~B'du 
dZ = Cdt+C'du 
Die vorgeschriebene Bedingung erfordert, erstlich, dass alle von Einem 
Punkte der ersten Fläche ausgehende und in ihr liegende unendlich kleine Linien 
den ihnen entsprechenden Linien der zweiten Fläche proportional sind, und zwei 
tens, dass jene unter sich dieselben Winkel machen, wie diese. 
Ein solches Linear-Element auf der ersten Fläche wird 
= \j([aa-^-hh-J— c c) d —j— 2 [ad-\-bh'-\-cc) di.dw-f- [da-]-b'b'-\-cc)du 2 ) 
und das entsprechende auf der zweiten Fläche 
= sl([AA+BB-\- CC) di 2 -f 2 (AÄ+ BB'+ CC')dt. du+(ÄÄ-\-B'B'+ C'C)dv?) 
Sollen beide, unabhängig von di und du, in einem bestimmten Verhältniss zu 
einander stehen, so müssen oifenbar die drei Grössen 
a« + &6-{- cc > aa-\~bb'-\-cc\ ad-\-b'b'-{-cc 
respective den drei folgenden proportional sein: