238 
DISQUISITIONES GENERALES 
dum, cuius dimensio una pro evanescente habetur, flexile quidem, sed non ex- 
tensibile, qualitates superficiei partim a forma pendent, in quam illa reducta con 
cipitur, partim absolutae sunt, atque invariatae manent, in quamcunque formam 
illa flectatur. Ad has posteriores, quarum investigatio campum geometriae novum 
fertilemque aperit, referendae sunt mensura curvaturae atque curvatura integra 
eo sensu, quo hae expressiones a nobis accipiuntur; porro huc pertinet doctrina 
de lineis brevissimis , pluraque alia, de quibus in posterum agere nobis reserva 
mus. In hoc considerationis modo superficies plana atque superficies in planum 
explicabilis, e. g. cylindrica, conica etc. tamquam essentialiter identicae spectan 
tur, modusque genuinus indolem superficiei ita consideratae generaliter expri 
mendi semper innititur formulae \J ÇE dp 2 -f- 2 Fdp. d q -j- G d ^ 3 ), quae nexum 
elementi cum duabus indeterminatis p, q sistit. Sed antequam hoc argumentum 
ulterius prosequamur, principia theoriae linearum brevissimarum in superficie 
curva data praemittere oportet. 
14. 
Indoles lineae curvae in spatio generaliter ita datur, ut coordinatae x, y, z 
singulis illius punctis respondentes exhibeantur in forma functionum unius varia 
bilis, quam per w denotabimus. Longitudo talis lineae a puncto initiali arbi 
trario usque ad punctum, cuius coordinatae sunt x,y,z, exprimitur per integrale 
Si supponimus, situm lineae curvae variationem infinite parvam pati, ita ut coor 
dinatae singulorum punctorum accipiant variationes Sx, $y, c)z, variatio totius 
longitudinis invenitur 
pdar.dSiC-f-di/.dSy-l-dz.dSz 
J q (da; 2 + dy 2 dz 2 ) 
quam expressionem in hanc formam transmutamus : 
dx.Sæ+dÿ.ôîz+àz.Sz 
=/ 
y' ( dar -f- d y 2 + dz 2 ) 
In casu eo, ubi linea est brevissima inter puncta sua extrema, constat, ea, quae 
hic sub signo integrali sunt, evanescere debere. Quatenus linea esse debet in su-