344 
ANZEIGEN. 
die Natur der krummen Fläche durch eine Gleichung zwischen x, y, z, bestimmt 
ist, und noch zusammengesetzter wird jener, wenn die Natur der krummen 
Fläche dadurch gegeben ist, dass x, y, s in der Gestalt von Functionen zweier 
neuen veränderlichen Grössen p, q dargestellt sind. Im letzten Fall enthält der 
Ausdruck fünfzehn Elemente, nemlich die partiellen Differentialquotienten der 
ersten und zweiten Ordnung von <2?, y, z nach p und q: allein er ist weniger 
wichtig an sich, als weil er den Übergang zu einem andern bahnt, der zu den 
merkwürdigsten Sätzen in dieser Lehre gerechnet werden muss. Bei jener Art, 
die Natur der krummen Fläche darzustellen, hat der allgemeine Ausdruck für 
irgend ein Linearelement auf derselben, 
oder für ^(d^-f-d^-j-clz 2 ), die Form \J{Edx z -\-2F'dx.dy~\-Gdy z ) 
wo E, F, G wiederum Functionen von p und q werden; der erwähnte neue 
Ausdruck für das Krümmungsmaass enthält nun bloss diese Grössen, und ihre 
partiellen Diiferentialquotienten der ersten und zweiten Ordnung. Man sieht also, 
dass zur' Bestimmung des Krümmungsmaasses bloss die Kenntniss des allgemei 
nen Ausdrucks eines Linearelements erforderlich ist, ohne dass es der Ausdrücke 
für die Coordinaten x, y, z selbst bedarf. Eine unmittelbare Folge davon ist 
der merkwürdige Lehrsatz: Wenn eine krumme Fläche, oder ein Stück dersel 
ben auf eine andere Fläche abgewickelt werden kann, so bleibt nach der Ab 
wickelung das Krümmungsmaass in jedem Punkt ungeändert. Als specieller Fall 
folgt hieraus ferner: In einer krummen Fläche, die in eine Ebene abgewickelt 
werden kann, ist das Krümmungsmaass überall = 0. Man leitet daraus sofort die 
characteristische Gleichung der in eine Ebene abwickelungsfähigen Flächen ab, 
nemlich, in so fern z als Function von x und^ betrachtet wird, 
ddz ddz , ddz \ 2 
dz 2 ' dy* ' da;. dy ' 
eine Gleichung, die zwar längst bekannt, aber nach desVerf. Urtheil bisher nicht 
mit der erforderlichen Strenge bewiesen war. 
Diese Sätze führen dahin, die Theorie der krummen Flächen aus einem 
neuen Gesichtspunkte zu betrachten, wo sich der Untersuchung ein weites noch 
ganz unangebautes Feld öffnet. Wenn man die Flächen nicht als Grenzen von 
Körpern, sondern als Körper, deren eine Dimension verschwindet, und zugleich 
als biegsam, aber nicht als dehnbar betrachtet, so begreift man, dass zweierlei