DISQUISITIONES GENERALES CIRCA SUPERFICIES CURVAS. 
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wesentlich verschiedene Relationen zu unterscheiden sind, theils nemlich solche, 
die eine bestimmte Form der Fläche im Raume voraussetzen, theils solche, welche 
von den verschiedenen Formen, die die Fläche annehmen kann, unabhängig sind. 
Die letztem sind es, wovon hier die Rede ist: nach dem, was vorhin bemerkt ist, 
gehört dazu das Krümmungsmaass; man sieht aber leicht, dass eben dahin die 
Betrachtung der auf der Fläche construirten Figuren, ihrer Winkel, ihres Flä 
cheninhalts und ihrer Totalkrümmung, die Verbindung der Punkte durch kür 
zeste Linien u, dgl. gehört. Alle solche Untersuchungen müssen davon ausge 
hen , dass die Natur der krummen Fläche an sich durch den Ausdruck eines un 
bestimmten Linearelements in der Form \J[Edp 2 -\-2Fäp Gdq 2 ) gegeben 
ist. Der Yerf. hat gegenwärtiger Abhandlung einen Theil seiner seit mehreren 
Jahren auf diesem Felde angestellten Untersuchuneen einverleibt, indem er sich 
auf solche einschränkte, die von dem ersten Eintritt nicht zu entfernt liegen und 
zum Theil als allgemeine Hülfsmittel zu vielfachen weitern Untersuchungen die 
nen können. Bei unsrer Anzeige müssen wir uns noch mehr beschränken, und 
uns begnügen, nur einiges als Probe anzuführen. Als solche mögen folgende 
Lehrsätze dienen. 
Wenn auf einer krummen Fläche von Einem Anfangspunkte ein System 
unendlich vieler kürzester Linien von gleicher Länge ausläuft, so schneidet die 
durch ihre Endpunkte gehende Linie jede derselben unter rechten Winkeln. Wenn 
an jedem Punkte einer beliebigen Linie auf einer krummen Fläche kürzeste Li 
nien von gleicher Länge senkrecht gegen jene Linie gezogen sind, so sind diese 
alle auch senkrecht gegen diejenige Linie, welche ihre andern Endpunkte ver 
bindet. Diese beiden Lehrsätze, wovon der zweite als eine Generalisirung des 
ersten betrachtet werden kann, werden sowohl analytisch, als durch einfache geo 
metrische Betrachtungen bewiesen. Der Überschuss der Summe der Winkel eines 
aus kürzesten Linien gebildeten Dreiecks über zwei Deckte ist der Totalkrümmung 
des Dreiecks gleich. Es wird hiebei angenommen, dass für die Winkel derjenige, 
dem ein dem Halbmesser gleicher Bogen entspricht, (57° 17' 45"), und für die 
ganze Krümmung, als Stück der Fläche der Hülfskugel, der Inhalt eines Qua 
drats, dessen Seite der Halbmesser der Hülfskugel ist, als Einheit zum Grunde 
liegt. Offenbar kann man diess wichtige Theorem auch so ausdrücken: der Über 
schuss der Winkel eines aus kürzesten Linien gebildeten Dreiecks über zwei 
Rechte verhält sich zu acht Rechten, wie das Stück der Oberfläche der Hülfsku-