ZUR GEOMETRIE DER STELLUNG VON CARNOT.
401
VII.
Entwickelung der Grundformeln der sphärischen Trigonometrie.
Sind a, b, c die Seiten: A, B, C die gegenüberstehenden Winkel eines
sphärischen Dreiecks, so ist
cos a — cos h. cos c -{- sin b. sin c. cos A
wie Lagrange für den Fall, dass sowohl b als c kleiner wie 90°, elegant bewie
sen hat. Indessen lässt sich der Beweis leicht auf alle andere Fälle ausdehnen.
Es können folgende Fälle eintreten:
1 6<90°, c < 90°
Hier gilt der Beweis unmittelbar.
II 6> 90°, c> 90°
Man verlängere die Seiten b und c über die Punkte B und C hinaus
bis zum Durchschnitte A, und bestimme den Werth von a aus der Betrachtung
des Dreiecks A B C.
III 6> 90°, c< 90°
Man verlängere die Seiten b und a über die Punkte A und B hinaus bis
zum Durchschnitte C, in dem Dreieck C AB ist sodann aus Fall I
cos (180° — a) = cosc. cos (180° — 6)-J- sine. sin (1 80°— b). cos (1 80°—Ä)
welches mit der Grundformel identisch ist.
Mit diesem Falle ist b <<90° und c>90° wesentlich einerlei.
IV b = 90°, A= 90°
Hier ist C der Pol von AB, also nothwendig auch a = 90°. Folglich
ist die Formel
cos a =■ cos b . cos c -f- sin b. sin c. cos A
von selbst evident. Mit diesem Falle ist c = 90°, H = 90° wesentlich einerlei.
59