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VERSCHIEDENE 
derselben folgende anvvenden nach [6] 
Wir haben also auch hier zu einer Wurzel zwei Auflösungen, nemlich durch 
die symmetrischen Lagen der Punkte (1), (2), (3) von (II) auf entgegengesetzten 
Seiten gleich weit abstehend; für x = -j-1 ist der Sinn der positiven Richtung 
in (I) derselbe wie in (II), für x — —1 verkehrt. Nur der einzige Fall, wo 
ohne Rücksicht auf das Zeichen \r = g— F (für x — —{— 1) oder = g -j- F 
(für x =—1) ist, muss ausgenommen werden, indem dann beide symmetrische 
Lagen von (I) in Eine, nemlich mit der Linie (II) selbst, zusammenfallen. 
Auszuschliessen sind offenbar von den Wurzeln der Gleichung [7] nicht 
blos die imaginären, sondern auch die ausserhalb der Grenzen —1 und -f-1 
liegenden reellen, und die Wurzel -|-l oder —1 selbst, wenn \r ohne Rück 
sicht auf das Zeichen beziehungsweise kleiner ist als g — F oder g-\-F. Es 
lässt sich übrigens beweisen, dass allemal, wenigstens eine der drei Wurzeln in 
die Kategorie der auszuschliessenden gehört, und also überhaupt niemals mehr 
als vier verschiedene Auflösungen durch reelle Coordinaten statt haben können. 
Genau genommen, bildet zwar ein ganz singulärer Fall in so fern eine Ausnahme 
des ersteren Satzes, als dabei keine Wurzel ausgeschlossen wird. Der singuläre 
Fall ist nemlich der schon oben erwähnte, wo für a? = +1 die Ordinate = 0 
wird, und wo (wie sich leicht beweisen lässt) die betreffende Wurzel zweimal gilt, 
d. i. wo das Glied linkerseits des Gleichheitszeichens in der Gleichung [7] den 
Factor (<2?-[-l) 3 enthält; die Gleichung hat dann also nur zwei ungleiche Wur 
zeln, von denen die zweite allerdings auch eine zulässige sein kann. Der Schluss 
folge selbst thut demnach dieser Ausnahmefall keinen Eintrag. 
Endlich muss noch bemerkt werden, dass auch unter den Auflösungen in 
reellen Zahlen physisch unzulässige sein können. Es ist nemlich nicht der ganze 
Kreis, welcher aus dem Mittelpunkte (l) durch (4) und (5) beschrieben ist, 
der geometrische Ort des Punktes (l), sondern nur der auf der positiven Seite 
von (4), (5) liegende Bogen, wenn h unter 180°, und der auf der negativen Seite 
liegende, wenn h überstumpf ist; dasselbe gilt von den beiden anderen Kreisen. 
Diese physische Bedingung ist aber in unserer Auflösung noch nicht berücksich 
tigt. Unter den verschiedenen, in reellen Zahlen gefundenen Auflösungen sind 
also nur diejenigen zulässig, wo die für die Abscissen der drei Punkte (1), (2), (3) 
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