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DES ERDMAGNETISMUS.
x =
Y =
Z =
,äP' . dP" . dP'" , N
' d w 1 d m 1 d m 1 '
d P' , dP" . dP'" . s
V -7TT -T TT“ + T U. S, W.
smw 11 dA 1 dA 1 dA 1 '
2P'+3P"~)-4P w -f- u.8.w.
sin U (
20.
Verbinden wir nun mit diesen Sätzen das bekannte Theorem, dass jede
Function von X und m, die für alle Werthe von \ von 0 bis 360°, und von u
von 0 bis 180° einen bestimmten endlichen Werth hat, in eine Reihe von der
Gestalt
P°+P'+P"+ P w + u.s.w.
entwickelt werden kann, deren allgemeines Glied P n der obigen partiellen Dif
ferentialgleichung Genüge leistet, dass eine solche Entwicklung nur auf Eine be
stimmte Art möglich ist, und dass diese Reihe immer convergirt, so erhalten wir
folgende merkwürdige Sätze:
I. Die Kenntniss des Werths von V in allen Punkten der Erdoberfläche
reicht hin, um den allgemeinen Ausdruck von V für den ganzen unendlichen
Raum ausserhalb der Erdfiäche daraus abzuleiten, und somit auch die Bestim
mung der Kräfte X, Y, Z nicht bloss auf der Erdoberfläche, sondern auch für
den ganzen unendlichen Raum ausserhalb derselben. Offenbar ist dazu nur nö-
y
thig, -g nach dem erwähnten Theorem in eine Reihe zu entwickeln.
Es soll daher im Folgenden das Zeichen V immer in der auf die Oberfläche
der Erde beschränkten Bedeutung verstanden werden, wenn das Gegentheil nicht
ausdrücklich gesagt ist, oder als diejenige Function von X und u, welche aus dem
allgemeinen Ausdruck hervorgeht, wenn r — R gesetzt wird, also
V = P(P'+P"-f-P"'-f- u.s.w.)
II. Die Kenntniss des Werthes von X in allen Punkten der Erdober
fläche reicht hin, um alles in I. angeführte zu erlangen. In der That ist nach
Art. 15 das Integral / o “Xd« = wenn F° den Werth von V im Nord
pole bedeutet, und die Entwickelung von f o u Xdu in eine Reihe der erwähnten
Form muss nothwendig mit