IM VERKEHRTEN VERHÄLTNISSE DES QUADRATS DER ENTFERNUNG ETC.
209
27
nichts anderes ist, als der Werth des Differentialquotienten insofern in die
ser Differentiation nur die Länge von r als veränderlich, die Richtung aber als
constant betrachtet wird; ferner, dass
a— x . b — y , c — z ,
—— • COS a ~1——. COS D -|—. cos y = COS (p
wird, wenn den Winkel bezeichnet, welchen die nach aussen gerichtete Nor
male in ds mit der verlängerten geraden Linie r macht, so erhellt, dass, wenn
das Integral
/
dк
dr
di
über den ganzen Raum t erstreckt mit M, das Integral
k cos <b
f^.ds
j rr
durch die ganze Oberfläche von t ausgedehnt mit N bezeichnet wird
ddF . ddF . ddF
da: 2
d y*
dz 2
= M—N
sein wird.
Um die erstere Integration auszuführen, beschreiben wir um den Mittel
punkt О mit dem Halbmesser J eine Kugelfläche, und zerlegen dieselbe in Ele
mente da. Die von О durch alle Punkte der Peripherie von da geführten und
unbestimmt verlängerten geraden Linien bilden eine Kegelfläche (im weitern Sinne
des Worts), wodurch aus dem ganzen t ein Raum (nach Umständen aus mehrern
getrennten Stücken bestehend) ausgeschieden wird, und wovon rráo.ár ein
unbestimmtes Element ist. Derjenige Theil von M, welcher sich auf diesen
Raum bezieht, wird folglich durch da. f — .dr ausgedrückt werden, wenn diese
Integration durch alle in t fallenden Theile einer durch О und einen Punkt von
da gehenden soweit als nöthig verlängerten geraden Linie r erstreckt wird. Neh
men wir nun an, diese gerade Linie schneide die Oberfläche von t der Reihe nach
in О', О ", О'", O"" u. s. f.; bezeichnen mit r, r"', r", r""u. s.f. die Werthe von
r in diesen Punkten; mit ds\ ds", ds v , ds"" u. s. f. die entsprechenden durch
den Elementarkegel aus der Oberfläche von t ausgeschiedenen Elemente; mit
Je, Je”, Je'", Je'" Vi. s.f. die Werthe von Je, und mit cj/, ф", ф"', ф""и. s.f. die Werthe
von ф an diesen Elementen: so übersieht man leicht, dass