IM VERKEHRTEN VERHÄLTNISSE DES QUADRATS DER ENTFERNUNG ETC.
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a, b, c die Coordinaten eines demselben angehörenden Punkts; mit r dessen Ent
fernung von einem Punkte 0, dessen Coordinaten x, y, z sind, und mit V das
Potential der in der Fläche enthaltenen Masse in dem Punkte O, so ist V = f ^,
durch die ganze Fläche ausgedehnt, endlich mit X, Y, Z die eben so verstan
denen Integrale
/ h[a — x) ds r Je (b — y)d s p Je (c — s) d s
r* ’ J ^ , J
so sind zwar X, Y, Z ganz gleichbedeutend mit so lange 0 ausser
halb der Fläche liegt, aber genau zu reden gilt dies nicht mehr, wenn 0 ein
Punkt der Fläche selbst ist, und die Ungleichheit gestaltet sich verschieden je
nach der Beschaffenheit des Winkels, welchen die Normale auf die Fläche mit
der betreffenden Coordinatenaxe macht. Es ist offenbar hinreichend, hier nur
das Verhalten in Beziehung auf die erste Coordinatenaxe anzugeben.
I. Ist jener Winkel — 0, so hat in O das Integral X einen bestimm
ten Werth, — hingegen hat zwei verschiedeneWerthe, je nachdem man d# als
positiv oder als negativ betrachtet.
II. Ist der Winkel ein rechter, so lässt der Ausdruck für X eine wahre
Integration nicht zu (indem dann eine ähnliche Bemerkung gilt, wie im 7. Arti
kel) , während ^ nur Einen bestimmten Werth hat.
III. Ist der Winkel spitz, so verhält es sich mit X eben so wie im zwei
ten, und mit ^ eben so wie im ersten Falle.
’ da;
Noch besondre Modificationen treten ein, wenn in O eine Unterbrechung
der Stetigkeit entweder in Beziehung auf die Dichtigkeit oder die Krümmung-
Statt findet. Für unsern Hauptzweck ist jedoch nicht nothwendig, solche Aus
nahmsfälle, die nur in einzelnen Linien oder Punkten eintreten können, ausführ
lich abzuhandeln, und wir werden daher bei der nähern Erörterung des Gegen
standes annehmen, dass in dem fraglichen Punkte eine bestimmte endliche Dich
tigkeit, und eine bestimmte Berührungsebene Statt findet.
14.
Ehe wir die Untersuchung in ihrer Allgemeinheit vornehmen, wird es nütz
lich sein, einen einfachen besondern Fall zu betrachten. Es sei die Fläche das
Stück A einer Kugelüäche, und die Dichtigkeit darin gleichförmig oder k con-
stant. Es sind also V, X die Werthe der Integrale