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ALLGEMEINE LEHRSÄTZE IN BEZIEHUNG AUF DIE
lut genommen, kleiner als welcher Bruch offenbar im äussern Raume kleiner
als jede angebliche Grösse werden kann.
22.
Lehrsatz. Ist di das Element einer einen zusammenhängenden endlichen
Raum begrenzenden Fläche, P die Kraft, welche irgendwie vertheilte Massen in
ds in der auf die Fläche normalen Richtung ausüben, wobei eine nach innen
oder nach aussen gerichtete Kraft als positiv betrachtet wird, je nachdem anzie
hende oder ahstossende Massen als positiv gelten; so wird das Integral fPds
über die ganze Fläche ausgedehnt — 2 wenn M das Aggregat der
im Innern des Raumes befindlichen, M' das der auf der Oberfläche nach der Ste
tigkeit vertheilten Massen bedeuten.
Beweis. Bezeichnet man mit Pdp denjenigen Theil von P, welcher von
dem Massenelemente d p herrührt, mit r die Entfernung des Elements d p von
ds, und mit u den Winkel, welchen in ds die nach Innen gerichtete Normale
mit r macht, so ist U = . Es ist aber in Beziehung auf jedes bestimmte
dp, vermöge eines in der Theoria Attractionis corporum sphaeroidicorum elliptico
rum Art. 6 bewiesenen Lehrsatzes j‘ c ^A.ds — ü, 2tc oder 4ir, je nachdem dp
ausserhalb des durch die Fläche begrenzten Raumes, in der Fläche selbst, oder
innerhalb jenes Raumes liegt. Da nun fPds dem Gesammtbetrage aller
d[i.j Uds gleichkommt, so ergibt sich hieraus unser Theorem von selbst.
In Beziehung auf den hier benutzten Hülfssatz muss noch bemerkt werden,
dass derselbe, in der Gestalt wie er a. a. O. ausgesprochen ist, für einen speciel-
len Fall einer Modification bedarf. Es bedeutet nemlich r die Entfernung eines
gegebenen Punktes von dem Elemente ds, und für den Fall, wo dieser Punkt in
der Fläche selbst liegt, ist die Formel f~r- ds = 2tz nur insofern richtig, als
die Stetigkeit der Krümmung der Fläche in dem Punkte nicht verletzt wird. Eine
solche Verletzung findet aber Statt, wenn der Punkt in einer Kante oder Ecke
liegt, und dann muss anstatt 2tt der Inhalt derjenigen Figur gesetzt werden,
welche durch die sämmtlichen von da ausgehenden die Fläche tangirenden gera
den Linien aus einer um den Punkt als Mittelpunkt mit dem Halbmesser 1 be
schriebenen Kugelfläche ausgeschieden wird. Da jedoch solche Ausnahmsfälle
nur Linien oder Punkte, also nicht Theile der Fläche, sondern nur Scheidungs-