IM VERKEHRTEN VERHÄLTNISSE DES QUADRATS DER ENTFERNUNG ETC. 229 
sen Oberfläche 8 befinden, das Potential in allen Punkten von 8 einen constan- 
ten Werth = A hat, so wird das Potential in jedem Punkte O des äussern 
unendlichen Raumes T' 
erstlich, wenn A = 0 ist, gleichfalls = 0, 
zweitens, wenn A nicht =0 ist, kleiner als A und mit demselben Zeichen 
wie A behaftet sein. 
Beweis. I. Zuvörderst soll bewiesen werden, dass das Potential in O kei 
nen ausserhalb der Grenzen 0 und A fallenden Werth haben kann. Nehmen 
wir an, es finde in 0 ein solcher Werth B für das Potential Statt, und bezeich 
nen mit C eine beliebige zugleich zwischen B und 0 und zwischen B und A 
fallende Grösse. Indem man von 0 nach allen Richtungen gerade Linien aus 
gehen lässt, wird es auf jeder derselben einen Punkt 0' geben, in welchem das 
Potential = C wird, und zwar so, dass die ganze Linie 0 0' dem Raume T' 
angehört. Dies folgt unmittelbar aus der Stetigkeit der Änderung des Poten 
tials , welches, wenn die gerade Linie hinlänglich fortgesetzt wird, entweder von 
B in A übergeht, oder unendlich abnimmt, jenachdem die gerade Linie die Flä 
che $ trifft, oder nicht (vergl. die Bemerkung am Schlüsse des 21. Artikels). 
Der Inbegriff aller Punkte 0' bildet dann eine geschlossene Fläche, und da das 
Potential in derselben constan! = C ist, so muss es nach dem Lehrsätze des vor 
hergehenden Artikels denselben Werth in allen Punkten des von dieser Fläche 
eingeschlossenen Raumes haben, da es doch in O den von C verschiedenen Werth 
B hat. Die Voraussetzung führt also nothwendig auf einen Widerspruch. 
Für den Fall A = 0 ist hiedurch unser Lehrsatz vollständig bewiesen; 
für den zweiten Fall, wo A nicht =0 ist, soweit, dass erhellt, das Poten 
tial könne in keinem Punkte von T' grösser als A, oder mit entgegengesetztem 
Zeichen behaftet sein. 
II. Um für den zweiten Fall unsern Beweis vollständig zu machen, be 
schreiben wir um O als Mittelpunkt mit einem Halbmesser R, der kleiner ist 
als die kleinste Entfernung des Punkts O von 8, eine Kugelfiäche, zerlegen sie 
in Elemente ds, und bezeichnen das Potential in jedem Elemente mit V; das 
Potential in O soll wieder mit B bezeichnet werden. Nach dem Lehrsätze des 
20. Artikels wird dann das über die ganze Kugelfläche ausgedehnte Integral 
J Vds = 4-RRB, und folglich f(V—B)ds = 0