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ALLGEMEINE LEHRSÄTZE IN BEZIEHUNG AUF DIE 
Fläche; V*—zU in der Fläche, so weit sie bei der zweiten Vertheilung belegt 
ist, und daher in demselben Stücke der Fläche auch v — U, weil v = v ~ v . 
Ob in der zweiten Vertheilung die ganze Fläche belegt ist, oder ob ein 
grösseres oder kleineres Stück unbelegt bleibt, wird von dem Coefficienten e ab 
hangen. Da die zweite Vertheilung in die erste übergeht, wenn £ = 0 wird, 
so wird allgemein zu reden das für einen bestimmten Werth von £ unbelegt ge 
bliebene Stück der Fläche sich verengern, wenn £ abnimmt, und sich schon ganz 
füllen, ehe £ den Werth 0 erreicht hat. In singulären Fällen aber kann es sich 
auch so verhalten, dass immer ein Stück unbelegt bleibt, so lange £ von 0 ver 
schieden ist und nicht das entgegengesetzte Zeichen annimmt. Für unsern Zweck 
ist es zureichend, £ unendlich klein anzunehmen, wo sich leicht nachweisen lässt, 
dass jedenfalls kein endliches Flächenstück unbelegt bleiben kann. Denn im 
entgegengesetzten Falle würde nach der Schlussbemerkung des Art. 32 das Inte 
gral J'V'mds um einen endlichen Unterschied grösser sein müssen als fV°m°ds: 
wird dieser Unterschied mit e bezeichnet, so ist der Unterschied der beiden In 
tegrale 
/(V— 2 £ U) mds —/(V° — 2 £ U) m° d 5 = e — 2 efU{m — m°)ds 
welcher für ein unendlich kleines £ einen positiven Werth behält, im Widerspruch 
mit der Voraussetzung, dass f(V — 2 £U) mdi in der zweiten Vertheilung seinen 
Minimumwerth hat. 
Man schliesst hieraus, dass wenn man in der dritten Vertheilung für p den 
Grenzwerth von ———, bei unendlicher Abnahme von e, annimmt, v — U in 
e 
der ganzen Fläche einen constanten Werth hat. 
Bilden wir nun eine vierte Vertheilung, wobei m = m°-j-[x gesetzt wird, 
die ganze Masse also = M bleibt, so wird das daraus entspringende Potential 
= V°-\-v sein, mithin in der ganzen Fläche die Grösse ü um die constante 
Differenz V°-\- v — U übertreffen, wodurch also der oben ausgesprochene Lehr 
satz erwiesen ist. 
34. 
Es bleibt noch übrig, zu beweisen, dass nur Eine Vertheilungsart einer 
gegebenen Masse M möglich ist, bei welcher V — U in der ganzen Fläche con- 
stant ist. In der That, gäbe es zwei verschiedene dies leistende Vertheilungsar-