IM VERKEHRTEN VERHÄLTNISSE DES QUADRATS DER ENTFERNUNG ETC. 
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ten, so würde, wenn man m und V in der ersten mit m, V, in der zwei 
ten mit m", V" bezeichnet, von einer dritten Massenvertheilung, in welcher 
m = m — m angenommen wird, das Potential = V— V" und folglich con- 
stant sein, und die Gesammtmasse = 0. Das constante Potential müsste daher 
nach Art. 27 nothwendig = 0 sein, und folglich nach Art. 28 auch m— m" = 0, 
oder die beiden Vertheilungen identisch. 
Endlich muss noch erwähnt werden, dass es immer eine Massenvertheilung 
gibt, wobei die Differenz V—U einen gegebenen constanten Werth erhält. Be 
deutet nemlich a einen beliebigen constanten Coefficienten, so wird, indem wir 
die Bezeichnungen für die erste und dritte Vertheilung im vorhergehenden Arti 
kel beibehalten, das Potential derjenigen Vertheilung, wobei m — an 
genommen wird, = a V°-\-v sein, und dem constanten Unterschiede a V°-\-v — U 
durch gehörige Bestimmung des Coefficienten a jeder beliebige Werth ertheilt 
werden können. Die Gesammtmasse dieser Vertheilung ist dann aber nicht mehr 
willkürlich, sondern = aM. Übrigens erhellt auf dieselbe Art wie vorhin, 
dass auch diese Vertheilungsbedingung nur auf eine einzige Art erfüllt werden 
kann. 
35. 
Die wirkliche Bestimmung der Vertheilung der Masse auf einer gegebenen 
Fläche für jede vorgeschriebene Form von U übersteigt in den meisten Fällen 
die Kräfte der Analyse in ihrem gegenwärtigen Zustande. Der einfachste Fall, 
wo sie in unsrer Gewalt ist, ist der einer ganzen Kugelfläche; wir wollen jedoch 
sofort den allgemeinem behandeln, wo die Fläche von der Kugelfläche sehr we 
nig abweicht, und Grössen von höherer Ordnung, als die Abweichung selbst, 
vernachlässigt werden dürfen. 
Es sei R der Halbmesser der Kugel, r die Entfernung jedes Punktes im 
Baume von ihrem Mittelpunkte, u der Winkel zwischen r und einer festen ge 
raden Linie, X der Winkel zwischen der durch diese gerade Linie und r geleg 
ten Ebene und einer festen Ebene. Der Abstand eines unbestimmten Punk 
tes in der gegebenen geschlossenen Fläche vom Mittelpunkte der Kugel sei 
= R{l-\-yz), wo y ein constanter sehr kleiner Factor ist, dessen höhere Po 
tenzen vernachlässigt werden, z hingegen eben so wie U Functionen von u 
und X.