KU GELFÜN CTIONEN. 
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P = ^d-f-pP + pp(7-l-p 3 P-|"p 4 P-f- n.s.w. 
P = 2 (2t— l)P+4(2i — 3)pC+6(2i — 5)ppP+8(2* — 7)p 3 P-f u. s. w. 
P"= 2.4 (2 ¿ — 3) (2 i — 5) C+ 4.6 (2t — 5)(2» — 7}p_D 
+ 6.8(2*— 7)(2*— 9)ppP+ u. s. w. 
P " = 2.4.6 (2i — 5) (2* — 7) (2* — 9) D + 4.6.8 (2*—7) (2* — 9) (2 i— 1 1) pP 
-f- n.s.w. 
P w = 2.4.6.8(2* — 7)(2i— 9) (2 * —11) (2* — 13)P+ n.s.w. 
Man kann diese Gleichungen auch so vorstellen, indem man statt p ., .RR 
schreibt und bei den Differentiationen blos R als veränderlich betrachtet: 
+rp- = i (i+1). je--* p 
[2.] 
Geometrische Bedeutung der Kugelfunctionen. 
P der unbestimmte Punkt. 
A, B, C, D etc. bestimmte Punkte 
Kugelfunct. der ersten Ordnung acosP^l 
Zweite Ordnung a cos PA. cos P C 
-j-cos PB. cos PD 
wo A, B, C, D sich auf vier Flächen eines 
regelmässigen Octaeders beziehen. 
Dritte Ordnung acosPJ-.cosPP.cosPG 
-f-öcosPÄ. cos PB', cos PC 
wo A, B, C in einem, A', B\ C' in einem andern grössten Kreise liegen und 
zwar so, dass AB = B C = CA = AB' — B’C == C A = 120° und beide 
Kreise einander rechtwinklig schneiden. 
Vierte Ordnung; Aggregat dreier Producte aus je vier Cosinus; die drei 
grössten Kreise schneiden einander unter rechten Winkeln. 
Fünfte Ordnung: Aggregat dreier Producte aus je fünf Cosinus, Die drei 
grössten Kreise schneiden einander in Einem Punkte.