134 
ALGEBRA. NACHLASS. 
der durch eine ungerade Zahl fehlender Glieder unterbrochenen Zeichenwechsel bezw. Zeichenfolgen und 
a == e-c-\-d. Wenn <j>2 ist, so heiße a eine kritische Stelle von f[x) — 0 *). Bei dieser Definition 
gilt der folgende präzisierte FouRlERSche Satz; Es seien a und a' zwei beliebige reelle Zahlen [a < <*'); 
bedeutet Z a bezw. Z a > die Anzahl der Vorzeichenwechsel in den Reihen 
(1) m, f’{a), f"[a), . .., /<">(«), 
(2) . . ., 
und ist 2 X die Summe der sämtlichen ihrer Definition nach niemals ungeraden Zahlen a, die allen zwischen 
a und a' gelegenen kritischen Stellen von f[x) — o entsprechen, so ist stets 
(3) Z a — Z a , 2 X o 
und die durch die linke Seite von (3) definierte Zahl gibt die genaue Anzahl der zwischen den Grenzen 
a und a' gelegenen Wurzeln von f[x) = 0, jede Wurzel nach ihrer Vielfachheit gezählt. Für den Fall, 
daß die Grenzen a und a! kritische Stellen oder Wurzeln von f[x) = o sind, ist für die Bildung von 
2X und die Zählung der Gleichungswurzeln a auszuschließen, a' einzuschließen**). Für a = — oc, 
a' =■ -f- oo erhält man den folgenden Satz, der an die Stelle der GAUSSSchen Angabe zu treten hat: Die 
Anzahl aller imaginären Wurzeln von f[x) = 0 ist gleich der Summe aller Zahlen <J, die den sämtlichen 
zwischen — oo und + oo gelegenen kritischen Steilen von f [x] — 0 entsprechen. — Aus der Ungleichung 
(3) folgt, daß, wenn zwischen a und a' eine kritische Stelle liegt, für die a > 2 ist, Z a — Z a , > 2 sein muß. 
Hiernach trifft die Aussage von Gauss (Werke III, S. 120, Zeile 11 v. u.), wonach »sämmtliche einzelne 
Differenzen g' — g, g” — g', g"'— g" u.s. w. nur entweder = 1 oder = 2 werden«, wenn man die Grenzen 
eng genug wählt, nicht zu. Daß man g'—g nichts stets <¡2 machen kann, war Fourier bekannt, wie 
aus seiner »Regel des doppelten Vorzeichens« (a, a. 0. S. 103) hervorgeht, wo er auch das Beispiel einer 
Gleichung mit 14 imaginären Wurzeln erwähnt. Die oben gegebene Definition der kritischen Stellen ist 
ihrem Wesen nach auch nur eine Präzisierung der genannten FouRiERschen Regel. 
Daß sich nicht »eine Brücke zwischen Fouriers critischen Punkten und bestimmten Paaren von ima 
ginären Wurzeln schlagen lässt« (vergl. die Briefstelle [3.]), folgt aus dem Beispiel [x— b] n + c — o {n gerade, 
h reell, c > 0), mit der einzigen kritischen Stelle b und n verschiedenen imaginären Wurzeln. Offen bleibt 
aber noch die folgende Frage; Es sei für f[x) — 0 die Anzahl m der kritischen Stellen nicht größer als ~ 
und für jede a= 2***); gibt es dann »einen willkürfreien Zusammenhang« (vergl. die Briefstelle [4.]) zwischen 
den einzelnen dieser m kritischen Stellen und m Paaren von imaginären Wurzeln der Gleichung f[x) — 0? 
Alfred Loewy. 
*) Für das Beispiel ist & eine kritische Stelle mit e = n— 1, c = 1, d — 0, also a = n— 2. 
**) Der von Gauss, Werke III, S. 120, Zeile 8, bei Seite gesetzte »ausnahmliche Fall« schließt aus, 
daß eine der Größen aus den Reihen (1), (2) gleich Null wird. Es handelt sich also um eine etwas stärkere 
Beschränkung, als wenn man fordert, daß a und a! weder Gleichungswurzeln noch kritische Stellen sein sollen. 
***) Schon der Fall u = 2 kommt nicht nur entsprechend der GAUSSSchen Anzeige, die nur d — 1 
zuläßt, zustande, sondern in allgemeinster Weise für ein beliebiges ganzzahliges e, wenn c — C — \, d = 1 
oder c=e — 2,d — 0 ist. Es folgt dies aus a = 2 und aus der gemäß der Definition der Zahlen c, d, e 
stets gütigen Relation e c -f- d.