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ANALYSIS. NACHLASS. 
Erläuterungen zu [IV.], S. 184—19 3. 
Die ersten 8 Seiten der Scheda Ac (begonnen November 17 99) enthalten Aufzeichnungen über die 
analytische Geometrie des Raumes und die sphärische Trigonometrie. Nur auf S. 7 finden sich zwischen diesen 
geometrischen Notizen, aber in sorgfältiger Schrift und von Linien eingerahmt, drei Zeilen, mit den Reihen 
entwickelungen [1], [2], [3] (oben S. 184) für —, von denen die erste und dritte schon Werke III, S. 423, 
art. [15.] abgedruckt sind. Die erste Entwicklung [l] stimmt mit der auf der Titelrückseite des Leiste 
stehenden und oben S. 169 wiedergegebenen Reihe überein. Ebenda ist auch die Reihe [2] angedeutet 
und mit ihrer Hilfe der Wert von — auf 15 Dezimalstellen berechnet. Dieselbe Reihe [2] ist auch 
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im Tagebuch, Nr. 9ia mit der Datierung Juli 17 98 aufgezeichnet. Mit der S. 8 schließen die geometrischen 
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Betrachtungen ab und es folgen auf S. 9 zunächst die beiden Reihen [4], [5] für ———, von denen die 
zweite Werke III, S. 423, art. [15] abgedruckt ist. Dann folgt die Aufzeichnung art. [2.], zu der man den 
Schluß des art. [2.] des vorigen Abschnitts [III.], S. 183, ferner den Brief an Bessel vom 3. September 1805 
(siehe oben Briefwechsel, [3.], S. 23 8) vergleichen kann. Zu diesen Entwicklungen dürfte Gauss durch 
Untersuchungen, die der theoretischen Astronomie angeboren, veranlaßt worden sein. In [6] bedeutet c den 
Kosinus eines Winkels, c2, c3,.. sind die Kosinus seiner Vielfachen. Bemerkenswert ist die elegante Ketten- 
A! 
bruchentwicklung für den Quotienten der beiden ersten Koeffizienten -j-. Dieser Quotient, der auch in 
der Aufzeichnung [25]—[28], S. 188, betrachtet wird, steht wie z. B. die Entwicklungen [28] zeigen, in engem 
Zusammenhang mit der im Leiste vorkommenden Funktion M (vergl. insbesondere Abschnitt [H.] Gl. [13] 
und [28])*). Der Zusammenhang dieser Entwicklungskoeffizienten mit dem agM. wird in wenig abweichender 
Form in den Gin. [23], [24] S. 188 hervorgehoben. 
Während die bisher betrachteten Notizen über das agM. vorwiegend formaler Natur waren, führen 
die Aufzeichnungen der artt. [3.] und [4.] in die Tiefen dieser Theorie ein. Auf den Weg, der Gauss zu 
der wichtigen Quotientendarstellung [7] geführt haben mag, wirft die Gleichung [io], S. 186, ein helles Licht, 
wenn man sie mit den Leisteformeln des art. [l.] von Abschnitt [II.] S. 177 vergleicht. 
Das Verhalten der Funktion M{i, x), die Gauss mit Mx bezeichnet, für große Werte von x wird 
in erster Annäherung durch die Gleichung 
1 71 
(et) lim — M{i, a:)log ix = — 
*—>00 x 1 
gegeben, die mit der Gl eich ung (14 a) unseres Abrisses (S. 25 5) übereinstimmt. Diese Gleichung kommt zwar 
in den hier zu besprechenden Aufzeichnungen nicht ausdrücklich vor, sie liegt aber, wie wir sehen werden, 
der Quotientendarstellung [7] zugrunde und spielt auch in späteren Entwicklungen von Gauss zum agM. 
namentlich bei der Ableitung des »Schönen Lehrsatzes«**) eine wichtige Rolle, wo auch ein Weg für ihre 
Ableitung angedeutet ist; wir haben im Artikel 2. des Abrisses diese Andeutungen ausgeführt. Es kommt 
dabei die Beziehung des agM. zum Ellipsenquadranten zur Geltung, indem nämlich durch diese Beziehung 
die Anwendung der Methoden ermöglicht wird, die Euler in der oben (S. 254, Fußnote) genannten 
Abhandlung Animadversiones etc. der Opuscula varii argumenti II angegeben hat. In dieser Abhandlung 
untersucht Euler das Verhalten des Ellipsenquadranten q, wenn die große Achse den festen Wert 1 
*) Man vergl. auch Werke III, S. 371, und Gauss’ Brief an Schumacher vom April 1816, siehe 
oben Briefwechsel [7.], S. 247, ferner die allgemeinen Formeln, Werke III, S. 128, 129, (Disquisitiones 
circa seriem etc. 1812). 
**) Siehe Abschnitt [IX.] art. [4.], S. 220.