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ANALYSIS. NACHLASS. 
ein, so ergibt sich für P(s) die Darstellung [33], deren Umformung in die Summe von zwei Quadraten [34] 
sehr nahe liegt. Die Gleichung [3 5] dürfte Gauss dann mit Hilfe der ihm bekannten Formel (Leiste, [6] 
Abschnitt [H.], S. 17 7) 
[«]' 
sP[s) = s-f 
4 1 ( 
S s -1 = (2 ? 4 + 2 Z'~ + • 
abgeleitet haben. Die Formel [38] und die ihr äquivalente [39] (in dieser hat c wieder die Bedeutung 
\J i — s*) ist nun nichts anderes als die Quotientendarstellung aus [7] in den neuen Bezeichnungen; wir 
können sie in der Form 
[38]' 
log,? 
ir M(l, \/l— **) 
2 M{\,S) 
schreiben, in der sie dann unmittelbar mit der Hauptformel (38) unseres Abrisses (S. 25 6) übereinstimmt. 
Wir werden ihr auf S. 34 der Scheda Ac (Abschnitt [V.] art. [5.], S. 197) wieder begegnen. 
Wir sehen, daß sich Gauss durch diese Untersuchungen in den vollen Besitz der Theorie des agM. 
gesetzt hat. Während er im Leiste die Größe z nur in formaler Weise, nämlich durch den Ileihenansatz 
[«], S. 177 definierte, erzielt er liier die genuine analytische Definition [38]' von z durch das agM., d. h. er 
hat jetzt das geleistet, was im Artikel 3. unseres Abrisses dargestellt ist. Endlich eröffnet ihm der Zu 
sammenhang zwischen dem agM. und dem vollständigen elliptischen Integral erster Gattung den Zugang 
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zu der allgemeinen Theorie der elliptischen Funktionen, indem die Formel [3 8]' die Größe — — log? direkt 
durch den Periodenquotienten darstellt*). 
Die auf diese Theorie bezüglichen Aufzeichnungen der Scheda Ac sind in dem Abschnitt [V.] ent 
halten. Ehe wir auf diesen eingehn, bemerken wir noch wiederholt, daß die im art. [6.] S. 189 enthaltene 
Tabelle eine Erweiterung der am Schlüsse des Abschnitts [III.], S. 183 befindlichen darstellt. Ferner möge 
noch mit wenigen Worten auf die Bedeutung der in den artt. [8.] und [9.] enthaltenen Aufzeichnungen hin 
gewiesen werden, die auch schon im Bande III der Werke S. 423—425 abgedruckt sind**). 
In [31], S. 189 setzt Gauss für Jf(i,sincp) eine trigonometrische Reihe an. Er scheint sich aber 
überzeugt zu haben, daß es auch hier zweckmäßiger ist, den reziproken Wert zu entwickeln, und findet, 
daß die Koeffizienten dieser Entwicklung in einfacher Weise von der lemniskatischen Periode abhängen. 
Insbesondere erweist sich das absolute Glied N gleich 2—=-, ein Resultat, das mit dem im art. [13.] des 
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Abschnitts [I.] der weiter unten abgedruckten Abhandlung »Zur Theorie der transcendenten Functionen 
gehörig«***) ausgesprochenen Theorem (das Gauss dort als »zu den Hauptsätzen dieser Theorie« gehörig 
bezeichnet) im Zusammenhang steht. In der Formel für den Maximalwert der dort betrachteten Funktion 
cpa bedeutet nämlich m die lemniskatische Periode. Die im art. [9.] bewiesene Reihenidentität [41], S. 191 
*) Das GAUSSSche z ist nichts anderes als das jACOBlsche \]g. 
**) Der Abdruck ist im ganzen dem Original entsprechend, obgleich nicht philologisch genau. In 
der ersten Formel findet sich jedoch ein störendes Versehen, indem nämlich Schering statt des auf der 
rechten Seite von [40] stehenden Ausdrucks P cos cp, gesetzt hat —, während es nach [37] heißen 
müßte - 1 : -. 
sin cp) 
***) Aus dem Handbuch 16, Bb; die Abhandlung ist auszugsweise bereits Werke III, S. 436 abge 
druckt. Die hier in Rede stehende Stelle findet sich (mit Änderungen gegen die Handschrift) auf S. 441.