BEMERKUNGEN ZUM AGM. ABSCHNITT V. 
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und das Produkt 2’cp W 
Cr-.) 
darzustellen, scheint Gauss sich schon hier eines Prinzips bedient zu haben, 
das man jetzt als das Transformationsprinzip von Hermite bezeichnet *). Mit voller Deutlichkeit tritt dieses 
Prinzip freilich erst im art. [12.] des weiter unten aus dem Handbuch 16, Bb abgedruckten Abschnitts [I.] 
der Abhandlung »Zur Theorie der transscendenten Functionen gehörig« hervor, vergl. auch den art. [5.] 
dieses Abschnitts, wo Gauss die Transformationsformeln zusammenstellt und darüber schreibt »aus einem 
allgemeinen Theorem abzuleiten, s. u.«, womit eben jener Satz des art. [12.] gemeint ist. Aus diesen Trans 
formationsformeln ergeben sich für die Nullwerte 
Wo, JV±a5, T%n> 
Beziehungen, die ohne weiteres den Algorithmus des agM. liefern, also zu einer Bestätigung der Formeln 
dienen, die Gauss im art. [5.], oben S. 197, zusammengestellt hat**). Dieser Artikel enthält dem art. [7.] 
des Abschnitts [IV.] gegenüber nichts wesentlich Neues; bemerkenswert ist nur die explizite Darstellung 
der Größe z in den Gin. [18] und [23] und die auch weiterhin im art. [8.], S. 200, noch einmal auftretende 
Gleichung sin 'l> = tg 2 die den Modul der LANDENschen Transformation liefert. 
Der art. [4.], S. 19 6, gibt das Additionstheorem für das Integral 
dS 
j\i 
V(i--S 8 )(i + fPS 2 ) ’ 
durch die Transformation S — sin u verwandelt sich dieses Integral in 
das Gauss auf das Titelblatt der Scheda Ac gesetzt hat, siehe S. 184 in der Überschrift. 
Die lemniskatischen Formeln im art. [7.] (die übrigens ebenso wie die der artt. [2.], [8.] und [i i.] zum 
Teil bereits Werke III, S. 419, 420 abgedruckt sind) bedürfen keiner Erläuterung. Im art. [8.] bedeutet 
sl — wie bereits oben bemerkt — den sinus lemniscaticus universalissime acceptus. Die am Schluß von 
art. [8.] stehenden Formeln für die lemniskatischen (Pep) 2 , ($ep) 2 werden im art. [11.] zum Teil wiederholt 
und numerisch ausgeführt. 
Bei der im art. [9.] behandelten Umformung von Potenzreihen, deren Exponenten eine arithmetische 
Progression zweiter Ordnung bilden, in Produkte konnte Gauss an Euler und an seine eigenen älteren 
Untersuchungen anknüpfen. Unter diesen letzteren erwähnen wir hier nur den art. [9.] der Exercitationes 
mathematicae, oben S. 142, und die S. 26 der Scheda Aa (also im Spätsommer 1 798) formulierte Aufgabe; 
Investigatio factorum progressionis infinitae 
+ ^ + # 10 + x' 5 i~«z* 1 + etc. = 
Die Lösung dieser Aufgabe gibt die Gl. 3) des art. [9.]; sie findet sich auch in der 1 808 veröffentlichten 
Summaiio quarundam serierum singularium, Werke II, S. 20. Das hier mit Uz bezeichnete Produkt hat 
Gauss später (siehe den art. [4.] des Abschnitts [I.] der weiter unten folgenden Abhandlung Zur Theorie der 
*) Siehe Hermites zweiten Brief an Jacobi vom August 1844, Grelles Journal für Mathematik 32, 
1845, S. 170, Oeuvres de Ch. Hermite, I (1905), S. 18 ff., besonders S. 24, 25. 
**) Vergl. die Tagebuchaufzeichnung Nr. 106 vom 22. Mai 1 800, wo es heißt; »per quod simul omnia 
praecedentia [d. h. die Theorie der lemniskatischen Funktionen] nec non theoria mediorum arithmetico- 
geometricorum pulcherrime nectuntur infinitiesque augentur.«