BEMERKUNGEN ZUM AGM. ABSCHNITT VIII.
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Man vergleiche art. [l.] des Abschnitts [VIII.], S. 213, die artt. [2.] und [4.] des Abschnitts [IX.], S. 218
und 220, ferner Werke 111, S. 4 0 8, 469, die alle aus sehr viel späterer Zeit stammen. In Gleichung [3],
S. 210, ist
, 2
0,16 6 0958116 = U)S? 10 ,
D m-
wo m der Modul der BRlGGSchen Logarithmen ist; in [5] beziehungsweise [7] ist
f — ... . 1 I? — \
1 M[n,b,’ M[A, B]'
Besonders hervorzuheben ist noch das Theorema im art. [5.]; dieses spielt nämlich eine wichtige Rolle
bei der im Handbuch 16, Bb, S. lll —112 gegebenen Lösung des Umkehrproblems des elliptischen Inte
grals erster Gattung (abgediuckt im Auszug Werke III, S. 401, 402, vollständig hier als Abschnitt [II.]
des folgenden Hauptstücks). Gaus.s führt es daselbst (siehe Werke 111, S. 401) an mit der Bemerkung
»wovon jedoch der Bew'eis tiefer liegt«.
Erläuterungen zu [VIII.], S. 213—216.
Die durch [l] eingeführte Größe x ist mit der in der Scheda Ac (siehe Abschnitt [V.], Gleichung [is],
S. 19 7) durch z bezeichneten Größe identisch; es ist
_ M [a, h]
M[a, c)
x* = e
Die Darstellung [l] ergibt sich durch Grenzübergang bei wiederholter Anwendung der LANDENschen Trans
formation
sin = tg 2 y
vergl. oben S. 198), sie findet sich auch in der Abhandlung aus Handbuch 18, Bd, Werke III, S. 448, wo
aber die hier mit x bezeichnete Größe mit \/x bezeichnet ist. Die Formeln [2], wo h = M[a,h) ist, sind
uns schon von den Schedae Ac und Af her bekannt. Das wesentlich Neue, was uns hier entgegentritt, ist
der Algorithmus [3]. Gauss erhält ihn anscheinend durch folgenden Gedankengang.
Die Gleichungen [5] lauten in neuerer Bezeichnungsweise (vergl. oben S. 27 5)
[5]' A = H.Üloiv\q,
B -
s.Kiv\€i
Es ist also
[5]"
B
A
Ähnlich, wie aus
b
»oi(0|1)
a
»oo(0|2)
gebildet ist
b'
^(o| 2 2 )
a'
Jyo (0 \q 2 )
bildet nun Gauss aus [s]"
B'
»oii^k 2 :
,'iXliJ
q = x 4 .
A'
#ool 2 ^2 2 )
Nach den in der Scheda Ac enthaltenen Formeln für die Transformation zweiter Ordnung (siehe oben die
Gleichungen [l 4]', [17]', S. 27 5)
