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ANALYSIS. NACHLASS. 
Bildet man aus den für | x ] < p konvergenten Reihen 
a — l -j- a t x -f- a 2 x 2 + • ••, 
& = i + ßi» + ß 2 .«M— 
den Algorithmus des agM. in der Weise, daß alle a n , b n sich für x — o auf l reduzieren, so erscheinen 
auch die a n ,b n und M(a,b] in der Form von Potenzreihen, die in einer gewissen Umgebung*) von 
x — o konvergent sind; in den Reihen für a n , b n stimmen die Koeffizienten der gleichhohen Potenzen von 
x bis einschließlich zur (2'"— i)ten Potenz überein und diese übereinstimmenden Koeffizienten bleiben bei 
allen folgenden a n+k , b n+k und demgemäß auch in der Grenzpotenzreihe für M(ex, b) erhalten**). 
Für « x , b 1 ist der Satz unmittelbar einleuchtend. Nimmt man ihn für a k , h k als bewiesen an, setzt also 
«Ä — 1 + <pi® 4 h + *•*. 
h = l + <Pi* -+ 1- fy®* + ß®! x * +l 4 . 
wo X = 2 Ä —1 ist, so ist zunächst klar, daß in den Entwicklungen von 
a k+1 — + b k+1 — \Ja k b k 
die Koeffizienten der Potenzen von x bis zur (2>.-f l)ten einschließlich durch 
,(to 
«r+, > • • •> “S+i* - • • •’ 
A+l y 
bestimmt werden. Für das arithmetische Mittel hat man, wie auch Pfaff bemerkt, unmittelbar ***) 
wo 
V. = s « + . + L»£« + ^l^ +5 + -’ 
s., +l = 1 + Ti * H 1- »J* 1 + 1 («1$, + ***' + ■ • ■ + t + “SV.' 1 x " + ' 
ist. Da aber in s 2 ^ die Glieder bis zu x 2 * +1 einschließlich mit den entsprechenden Gliedern in dem Pro 
dukt a k b k übereinstimmen, so folgt, daß auch in b k+1 die Glieder bis zu x^ 1 einschließlich durch s 2 ;_ +1 
gegeben werden, womit unser Satz allgemein bewiesen ist. 
Zu der Bemerkung Pfaffs über die Methodus tangentium inversa vergi, man die Schrift 
Viro illustri Ä. G. Kaestner de problemate e geometria curvarum respondet Jo. Frid. Pfaff, 1 79 9, die als 
Gratulationsschrift zum 80. Geburtstage Kaestners (27. September 1799) gedruckt worden ist, aber die 
eigentliche Behandlung des geometrischen Problems nicht enthält. Diese sollte vielmehr (nach Blatt 3 a, 
Zeile 15, 16 der Gratulationsschrift, vergl. auch die von Kaestner selbst verfaßte Anzeige, Göttingische 
gelehrte Anzeigen, 1799, II{, S. 1761) in einem besonderen Tractatus geometrico-analyticus de methodo 
angentium inversa gegeben werden, der aber niemals erschienen ist. 
Zu dem in [2.] von Pfaff erörterten Mittel vergl. die in dem »Anhang« zu diesem Briefe zusammen 
gestellten Auszüge aus den » Gaussiana« Schumachers f). Die ersten in | j eingeschlossenen Zeilen 
*) Diese bestimmt sich einerseits durch p, andererseits dadurch, daß sie keine Wurzel der Gleichungen 
a = o, b = o, a 2 — 6 2 = o (j; = o ausgenommen) enthalten darf, vergl. L. v. David, Grelles Journal für 
Mathematik 140, 1911, S. 29 2. 
**) Siehe H. Schapira, Über ein allgemeines Princip algebraischer Iterationen, Verhandlungen des 
Naturhistorisch-med. Vereins zu Heidelberg, N.F. 4, 1887, S. 25ff., wo auf S. 40—42 ein allgemeiner Satz 
ausgesprochen ist, der den oben angegebenen als besonderen Fall einschließt. 
***) Man beachte, daß bei Pfaff a n das geometrische und b n das arithmetische Mittel bezeichnet, 
f) Ausführlich behandelt dieses Mittel C. W. Borchardt, In memoriam Dominici Chelini, Collec-