BEMERKUNGEN ZUR THEORIE DER TRANSZENDENTEN FUNKTIONEN. 
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[1]" 
öoo \— ie 
= \/—ir fi 00 («> I e T7Ti ). 
P bedeutet in den Gleichungen des art. [i.], wie auch sonst oft bei Gauss (siehe z. B. Disquisitiones arith 
meticae, Werke I, S. 413), den Umfang des Kreises vom Halbmesser Eins. Zu den Formeln selbst vergl. 
oben S. 223 die Formeln für p 
/ l iu\ 
\T’ rj 
und fdr vr +,?,+T . 
Die den art. [i.] abschließende Bemerkung über das agM. enthält die auch im art. 16. der Deter- 
minalio attractionis (1818), Werke III, S. 352 unten, zu findende LANDENSche Transformation. Ihr 
Auftreten an dieser Stelle zeigt, daß Gauss die Bedeutung der Gleichung [i] als Transfonnationsformel wohl 
erkannt hat. 
Die artt. [2.], [3.] geben die Umiormung der Potenzreihen, deren Exponenten eine arithmetische Reihe 
zweiter Ordnung bilden (Thetanullreihen), in Produkte, vergl. schon in der Scheda Ac, oben S. 201, art. [9.]. 
Im art. [4.] wendet sich Gauss nach einer Zusammenfassung dieser Umformungsgleichungen zu den von 
den beiden Veränderlichen x und y abhängenden Reihen und Produkten (Thetafunktionen). Die Gleichung 
rj£ ist jene schon in der Scheda Ac (siehe oben S. 204) auftretende berühmte Identität zwischen der Reihen- 
und der Produktdarstellung der Thetafunktion, vergl. auch die Abhandlung Zur Theorie der neuen Trans- 
scendenien, Werke 111, S. 446, Gl. 6. in Verbindung mit Gl. 9. auf S. 447 (diese Abhandlung stammt aus 
dem Handbuch 18, Bd, S. 221—223 und ist, da sie der Tagebuchaufzeichnung Nr. 139 entspricht, im Juni 
1 809 verfaßt). In den artt. [5.]—[io.] werden Transformationsformeln für die allgemeine Thetafunktion durch 
Induktion aufgestellt und dann in den artt. [l l-], [12.] mit Hilfe des jetzt sogenannten HEKMiTEschen 
Transformationsprinzips bewiesen, vergl. oben S. 27 7. Man vergl. zu diesen Formeln auch die bereits er 
wähnte Abhandlung Zur Theorie der neuen Transseendenten, Werke 111, S. 44 6 und die Hundert Theo 
reme, ebenda S. 4 61 ff. In der letzteren Abhandlung (die wohl aus der Zeit um 1 825 stammt) werden für 
die drei geraden Thetafunktionen »besondere Functionalzeichen eingeführt« (Werke III, S. 46 5); es ist für 
2 TOn 
x = q, y = e 
P[x,y) = fioo [v\q], Q{x,y) = ftoiNäb B[x>y) = #io(®lä): 
zu diesen tritt später (1 827, Werke III, S. 472) das Zeichen S[x,y) für die ungerade Thetafunktion. Wir 
fügen noch für einige der wichtigsten Formeln Verweisungen auf die entsprechenden Stellen der oben ge 
nannten späteren Abhandlungen hinzu. 
Im 
art. [3.], zu 
[2] vergl. Werke III, 
S. 447, Gl. 14. (auch Werke II, S. 20), 
art. [4.], „ 
[3] „ 
yy )) y 
S. 447, Gl. 10., 
yy 
[4] „ 
>} yy y 
S. 447, Gl. 1 1., 
1) 
[5] 
yy y) y 
S. 446, Gl. 5., 
art. [7.], „ 
[6] „ 
yy y> y 
S. 449, Gl. 24., 
art. [8.], „ 
[7] „ 
yy yy y 
S. 450, Gl. 36., 
>> 
[8] „ 
yy yy y 
S. 451, Gl. 41., 
art. [9.], „ 
1. „ 
yy yy y 
S. 450, Gl. 29,, für — X statt X, 
)) 
2. „ 
yy yy y 
S. 450, Gl. 30., „ „ 
1) 
[9] „ 
yy yy y 
S. 449, Gl. 28., „ „ 
)) 
[io] „ 
yy yy y 
S. 449, Gl. 25. und 27. 
[13.] 
bedeutet 
si die 
lemniskatische 
Periode; zu dem daselbst gefundenen 
Im art. [13. 
L_ 4/ — wird man die aus der Scheda Aa stammenden numerischen Werte Werke III, S. 418 art. [8. 
^2 V * 
vergleichen können. 
41 
In der Fußnote oben S. 302 ist M = log 10 e. 
X 1 .