BEMERKUNGEN ZUR THEORIE DER TRANSZENDENTEN FUNKTIONEN. 
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oben S. 27 9 hingewiesen haben*). Dieselbe Rechnung findet sich in etwas gedrängter Darstellung in den 
erwähnten am 6. August 1 s 27 begonnenen Aufzeichnungen desselben Handbuchs, abgedruckt Werke III, 
S. 473, art. [5.]. Unser Abschnitt [II.] steht in dem Handbuche nach flächentheoretischen Betrachtungen, 
die Werke YIH, S. 405— 107 abgedruckt sind und die, wie P. StäCKEL a. a. 0., S. 407 bemerkt, 1825 
geschrieben sein dürften; in dieses Jahr wäre also auch der Abschnitt [II.] zu setzen. Daß Gauss aber 
diese Verifikationsrechnung schon 1800—1801 ausgeführt hat, zeigt nicht nur die Tagebuchnotiz Nr. 108 
(vergl. die Erläuterungen zu dieser Notiz in dem unten folgenden Abdruck des Tagehxwhs), sondern auch 
der Umstand, daß der hier zur Anwendung gelangende Satz 
uh'— ha' = -if-ah («* — &*), 
von dem Gauss (oben S. 310) sagt, daß der Beweis davon tiefer liegt, mit dem Theorema der Scheda Af 
(1801), oben S. 212, identisch ist**). 
Erläuterungen zu [III.], S. 311—320. 
Diese Abhandlung besteht aus zwei zu verschiedenen Zeiten entstandenen Teilen. Der erste, die 
artt. [l.]—[4.] und noch einige beim Abdruck weggelassene Formeln enthaltende, steht auf den S. 172—177 
des Handbuchs 19, Be; er stammt wohl aus dem Jahre 1 834, da auf S. 184 des Handbuchs (gedruckt Werke 
V, S. 609, art. [7.]) das Datum »1835, Januar 23« steht. Im art. [1.] ist die Aufgabe berührt, für eine ge 
schlossene Linie L, deren Punkte die Koordinaten x, y haben, x + yi als Funktion von cos cp + i sin cp 
darzustellen, d. h. diese Linie auf den Kreis mit dem Halbmesser Eins abzubilden. In den artt. [3.], [4.] 
sucht Gauss für den Fall, wo L eine Ellipse ist, diese Aufgabe in der Weise zu lösen, daß er für 
T = x-\-yi die Reihe [l] mit reellen Koeffizienten ansetzt und die Koeffizienten so bestimmt, daß die 
Reihe [1] und ihr konjugierter Wert [2] in die Gleichung [3], die nichts anderes ist als 
eingesetzt, diese für t = cos cp + i sin cp befriedigen. Nach Einführung von X statt k durch die Gleichung 
[4] ergibt sich die Entwicklung [5], von der ausgehend dann durch Vermittlung der Gleichung [5 a] der 
Zusammenhang zwischen t und der durch [6] definierten Größe u hergestellt wird. Wie Gauss dazu ge 
langt ist, den Faktor***) von auf der rechten Seite der Gleichung [5a] gerade so zu wählen, geht 
aus der Aufzeichung nicht hervor; wahrscheinlich hat ihn eine numerische Induktion dabei geleitet. Den 
Zusammenhang dieser Reihe, sowie der Reihe [7] mit der Theorie der elliptischen Funktionen findet Gauss 
erst nach etwa fünf Jahren (siehe die Bemerkung am Schluß des art. [4.]). Zu der durch die Gleichung 
[5 a] gegebenen Darstellung von x-\-yi, wenn x,y die Koordinaten eines Ellipsenpunktes sind, vergleiche 
man den art. [2.] und die, Werke VIII, S. 3 41 abgedruckte — wohl aus späterer Zeit stammende — Auf 
zeichnung. Mit dieser Form der Darstellung einer Ellipse beginnt auch der zweite Teil unserer Abhand 
lung im art. [5.]. 
*) Ein Auszug ist Werke III, S. 401, 402 abgedruckt. 
**) Auf S. 5 3 des Handbuchs 16, Bb bei der Werke III, S. 44 5 abgedruckten, auf die Differential 
gleichungen für die Reihen p, q bezüglichen Rechnung, steht dieser Satz in der Form 
4 „4 xdq , 4xdp 
i * qdx'pdx 
mit einem Fragezeichen. Diese Formel fehlt in dem Abdruck Werke III, S. 4 4 5. 
***) Gauss hat später ein hingesetzt, um diese Reihe anführen zu können, siehe den art. [7.] S. 318.