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ANALYSIS. NACHLASS. 
BEMERKUNGEN. 
Die hier zusammengestellten Aufzeichnungen stehen zerstreut zwischen astronomischen Rechnungen 
und Entwickelungen, mit denen aber nicht immer ein unmittelbarer Zusammenhang erkennbar ist. — Die 
Funktion, von der der art. [1.] handelt, stimmt, von dem Faktor abgesehen, mit der im art. 9 0 der 
Theoria motus (l800) mit X bezeichneten Funktion überein, siehe Werke VII (1906), S. 116, wo die hier 
angegebenen Reihen- und Kettenbruchentwickelungen auftreten, vergl. auch in der Abhandlung circa seriem 
(1812), Werke III, S. 137. Das Verfahren, durch das hier der Kettenbruch aus der Reihe abgeleitet wird, 
ist das auf Lambert*) zurückgehende Divisionsverfahren, im wesentlichen also dasselbe, wie das im art. 12 
der Abhandlung von 1812, Werke III, S. 134 im allgemeinen Falle angewandte. Die am Schluß des art. 
[1.] gegebene Entwicklung nach Potenzen von sin | cp stimmt mit der Reihe 11 des art. [3.] überein; wir 
sehen hier wieder durch das Divisionsverfahren: 
Q-P=aR, B-Q = pS, S-B = fT, T~S = hU,... 
den Kettenbruch für —-— entstehen, wo man jetzt s = sin cp zu setzen hat. Dieser Kettenbruch steht 
cos cp j r 
auch in der Abhandlung von 1812, Werke III, S. 13 7, Gleich. [3 5]. Natürlich sind alle hier auftretenden 
Reihen besondere Fälle von F{a,$,y,x). Das gleiche gilt von den Reihen des art. [2.]; in der Bezeichnung 
der Abhandlung von 1812, Werke III, S. 13 4, ist der erste Kettenbruch des art. [2.]; 
1, x 2 j, der dritte : F 
vergl. die im Astronom. Jahrbuch für 1811, Werke VII (1906), S. 301 gegebenen Entwickelungen für A, 
ferner Werke III, S. 2o9. An der Hand von Eulers Abhandlung Specimen transformationis singularis 
serierum, Nova Acta Acad. Petropol. 12 (1794) 1 801, S. 58—70, fand Gauss auch den allgemeinen 
Gesichtspunkt für die speziellen Entwickelungen der artt. [i.]—[3.]; aus dieser Abhandlung Eulers 
(§ 10, a. a. O. S. 61, 62) stammt das »Theorem« des art. [4.]. Die darauf folgende »Verwandlung«, die in 
den Bezeichnungen der Abhandlung circa seriem 
G i-y-, 2 , der zweite: G 
<?(«. y-ß, Y, x) 
Y(Y-a-ß) 
(Y-a) (Y-ß) 
«P 
(T—«)(r—ß) 
G (Y -a > ß. Y> a) 
autet, ergibt sich aus diesem EuLERschen Theorem mit Hinzunahme der Relation (siehe Werke III, S. 13 3, 
Gl. [19]) 
(*) F[a., ß+ 1, y+ D ») = F[a, ß, y, x) + -y yr pr X - F i a + L ß + L Y + 2, x), 
T (Y + U 
aus der die Kettenbruchentwickelung für den Quotienten 
G (a, ß, y, x) 
F [a, ß + 1,Y+ 1,Æ) 
F {a, ß, y, x) 
*) Siehe J. H. Lambert, Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes 
circulaires et logarithmiques, Histoire de l’Académie. Berlin (1761) 17 68, Mémoires, S. 265; siehe besonders 
S. 268. Während Lambert für die von ihm betrachteten besonderen Fälle eine Untersuchung der Kon 
vergenz der Kettenbrüche vornimmt, fehlt eine solche Untersuchung bei Gauss, vergl. dazu die Bemerkung 
zu der weiter unten folgenden Abhandlung [III.]. Es verdient noch hervorgehoben zu werden, daß Gauss 
in späterer Zeit auf diese LAMBERT’sche Abhandlung ausdrücklich Bezug genommen hat, siehe die Fußnote 
Werke X 2, S. 62.