FÜNFTER BEWEIS DES FUNDAMENTALSATZES BEI DEN QUADRA 
TISCHEN RESTEN. 
[Aus Handbuch 21, Bg. Aufsätze, Notizen und Rechnungen zur Mathematik 
und Astronomie gehörig. Angefangen September 1813, S. 4—5.] 
I) Es sei p eine (ungerade) Primzahl, a eine Radix primitiva für den 
Modulus p, x eine unbestimmt bleibende Grösse. Wir bezeichnen durch fx 
die Function 
(i -j-] % 4- 4-# aa 4- # a * 4- 4-# aS + etc. 4- 
Man sieht leicht, dass 
fx — ([1 -{-] -|- ¿ro? -{- <2? 3 etc. -\-x p ~ l ) 
durch 1 —x p theilbar seyn müsse, da die Zahlen 1, a, aa, a s ..., a p ~ 2 den Zahlen 
1, 2, 3, 4, ..., p — 1 nach dem Modulus p congruent sind (ohne Rücksicht auf 
die Ordnung). Es ist also fx durch 
1 f-x-fxx-f etc. -j— x p ~ l = 1 ~~ 
1,1 1 1—X 
theilbar. Es wird also auch allgemein, wenn n irgend eine ganze Zahl be 
deutet, f[x n ) durch theilbar seyn. Nun ist aber leicht zu beweisen, dass 
l-x np J 1 1-xP 
—r- durch 
1— X n 1 —X 
theilbar sei, wenn n durch p nicht theilbar ist, in diesem Fall wird also f{x r 
auch durch 
l—x p 
1 — X 
theilbar seyn. Hingegen sieht man leicht, dass wenn n