ZUR THEORIE DER REIHE F{0., ß, J, x).
TH.
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Fl(a—1 ) 11 (—a) = i ~—, I\a.
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II 7 (<x— 1)
Il [a— 1)
BEMERKUNGEN.
Neben der lateinischen Bearbeitung der Disquisitiones circa seriem, über die Schering in den Be
merkungen zu dem aus dem Nachlaß herausgegebenen zweiten Teile dieser Abhandlung berichtet (Werke
III, S. 2 3 0), verdient die vorstehende deutsche Bearbeitung derselben Abhandlung besondere Beachtung.
Sie besteht aus zwei Teilen, die aber kurz hintereinander niedergeschrieben sein dürften; der erste umfaßt
die artt. [1.]—[7.], der zweite die artt. [8.] und [9.], beide werden wohl auf das Jahr 1 809 anzusetzen sein.
Gegenüber den Disquisitiones (Werke III, S. 13 2) fällt zunächst auf, daß die Beziehungen zwischen ver
wandten Reihen (siehe die Gleichungen (2) bis (29), oben S. 339—342) hier immer in der besonderen Form
gegeben werden, daß wenn u = F{a, ß, y, x), v eine verwandte Reihe, u', v' die Derivierten bedeuten,
v — Au-\-Bu', v' = Gu-\-Du’
gesetzt wird, wo A, B, C, D gewisse rationale Funktionen von x sind. Es ist also diejenige Form der Trans
formation. durch welche die Differentialgleichung (30), der u genügt, in die (nach- Rtemann *)) zu der
selben Klasse gehörige Differentialgleichung, der v Genüge leistet, übergeht.
Bei der Bestimmung der in der Gleichung (31) des art. [3.] auftretenden Konstanten A wird auf eine
spätere Stelle verwiesen. Nun erscheint zwar im art. [7.] die analoge Gleichung [31 a] für beliebige Werte
der a, ß, y und im art. [9.] wird die Darstellung dieser allgemeinen Konstanten mit Hilfe der II-Funktion
gegeben, aber ohne Beweis. Ein Beweis findet sich in dem nachgelassenen art. 50. der Disquisitiones,
Werke III, S. 221. Bemerkenswert ist im art. [3.] das Beispiel ot = ¡¿ , ß = | > T — ] > c ^ as ^ em arithmetisch-
geometrischen Mittel entspricht; in diesem Falle ergibt sich A = ~ und die Gleichung (3 1) ist nichts
anderes als der Schöne Lehrsatz, oben S. 218, oder das Theorema elegantis simum, Werke
VIII, S. 98. Im art. [4.] wird die EüLERSche Gleichung (32), vergl. oben S. 329, ähnlich wie auch in dem
nachgelassenen art. 40 der Disquisitiones, Werke III, S. 209, abgeleitet; »eine der merkwürdigsten Rela
tionen« nennt sie Gauss, ohne übrigens Euler zu erwähnen. Es folgen dann die Umwandlungen der
Quotienten
■F(«,ß+i, T + i) und *>+i,ß, T)
F[a, ß, y) F[n, ß, y)
in Kettenbrüche, ganz ähnlich wie im art. 12. der Disquisitiones, Werke III, S. 134. Die trage der
*) B. Riemann, Gesammelte Werke, 2. Aufl., 1 892, S. 380.
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