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ANALYSIS. BRIEFWECHSEL. 
Princip zur Definition aufgefunden ist, wie bei meiner Reihe die Differential 
gleichung 
0 = aßP-( T -(a + ß+l)»)H-(®-*®)-^*). 
Auf gleiche Art fallen alle Paradoxa, die einige Mathematiker bei den Lo 
garithmen gefunden haben, von selbst weg, wenn man nicht von der ge 
wöhnlichen Definition basis logar * = Zahl ausgeht, die eigentlich nur dann recht 
befriedigend ist, wenn der Exponent eine ganze Zahl ist, und ganz [und gar] 
keinen Sinn gibt, wenn der Exponent gar imaginär werden soll — sondern jede 
Grösse die in der Reihe 
1 + x -j- £ xx + i x* -f- etc. ... 
für x subst[ituirt] ihr den Werth A gibt, Logarithm von A[ # *)] nennt; wie 
ich mit Vergnügen sehe, hat der Portugiese Acunha[ ## *)] diese Definition 
wirklich gewählt — in einer schlechten Recfension] in unseren Gel[ehrten] 
Anzeigen f)] ist er deswegen getadelt — aber freilich die nöthigen Beweise, 
dass allgemein 
(1-f x-\-ixx...){i -VyWyy^ •) = i +(æ+y)4- \\xA-yf-\-'" 
nur schlecht, nemlich bloss durch Induction ausgeführt, obgleich es so sehr 
leicht streng zu beweisen ist. 
So wie es mir immer Vergnügen macht, in Wesentlichen Dingen mit 
Ihnen, lieber Bessel, zusammen zu treffen, so kann ich nicht leugnen, dass 
ich auch mit Vergnügen bemerke, wenn wir in Kleinigkeiten, die mehr nur 
Sache des Geschmacks sind, uns begegnen. Noch heute las ich ihre Recension 
*) Nach welcher jedem, reellen oder imaginären Werthe von x vermittelst eines 
stetigen Überganges von x = 0, ohne x — 1 zu berühren (was durch imaginäre 
Zwischenwerthe geschehen kann), ein, gewöhnlich mehrere, ja unendlich viele Werthe 
von F entsprechen. 
[**} In der Handschrift steht x statt A.] 
[***) José Anastasio da Cunha, Principios Mathematicos, Lisboa 17 9 o. Gauss kannte wahrscheinlich 
die Übersetzung Principes Mathématiques de feu J.-A. da Cunha, traduits littéralement du Portugais par 
J. M. d’Abreu, Bordeaux 1811, siehe Livre IX, S. 117 ff., wo in dem von Gauss angegebenen Sinne von 
den Potenzen und Logarithmen gehandelt wird,] 
[•}•) Göttingische Gelehrte Anzeigen 1811, 181. Stück, S. 1801, siehe besonders S. 1804—1805; diese 
Anzeige bezieht sich auf die französische Übersetzung des in Rede stehenden Werks.]