GAUSS AN BESSEL. 
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demjenigen Werthe, für welchen das Integral 0 seyn soll, bis zu x = a-\-hi 
übergeht, und dann alle yx.dx summirt. So ist der Sinn vollkommen fest 
gesetzt. Nun aber kann der Übergang auf unendlich viele Arten geschehen: 
so wie man sich das ganze Reich aller reellen Grössen durch eine unendliche 
gerade Linie [dargestellt] denken kann, so kann man das ganze Reich aller 
Grössen, reeller und imaginärer Grössen, sich durch eine unendliche Ebne 
sinnlich machen, worin jeder Punct, durch Abscisse = a, Ordinate = h be 
stimmt, die Grösse a-f- bi gleichsam repräsentirt. Der stetige Übergang von 
einem Werthe von x zu einem andern a-\- hi geschieht demnach durch eine 
Linie und ist mithin auf unendlich viele Arten möglich. 
Ich behaupte nun, dass das Integral fyx.dx nach zweien verschiednen 
Übergängen immer einerlei Werth erhalte, wenn innerhalb des zwischen beiden 
die Übergänge repräsentirenden Linien eingeschlossenen Flächenraumes nirgends 
cpic = oo wird. Diess ist ein schöner Lehrsatz*), dessen eben nicht schweren 
Beweis ich bei einer schicklichen Gelegenheit geben werde. Er hängt mit 
schönen andern Wahrheiten die Entwicklungen in Reihen betreffend zu 
sammen. Der Übergang nach jedem Pnncte lässt sich immer ausführen, ohne 
jemals eine solche Stelle, wo yx = oo wird, zu berühren. Ich verlange daher, 
dass man solchen Puncten ausweichen soll, wo offenbar der ursprüngliche 
Grundbegriff von f yx. dx seine Klarheit verliert und leicht auf Widersprüche 
führt. Übrigens ist zugleich hieraus klar, wie eine durch fyx.dx erzeugte 
Function für einerlei Werthe von x mehrere Werthe haben kann, indem man 
nemlich beim Übergange dahin um einen solchen Punct, wo cp# = oo [**)] ent 
weder gar nicht, oder einmal, oder mehreremale herumgehen kann. Detinirt 
man z. B. log x durch 
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von x— 1 anzufangen, so kommt man zu log x entweder ohne den Punct 
x — 0 einzuschliessen oder durch ein- oder mehrmaliges Umgehen desselben; 
jedesmal kommt dann die Constante oder —2izi hinzu: so sind die 
*) Eigentlich ist hiebei noch angenommen, dass <px selbst eine einförmige Func 
tion von x ist, oder wenigstens für deren Werth innerhalb jenes ganzen Flächenraumes 
nur Ein System von Werthen ohne Unterbrechung der Stetigkeit angenommen wird. 
[**) In der Handschrift steht x = oo.]