SUMMATION EINER DIVERGIRENDEN REIHE, 
3S5 
[14] 
[15] 
m = — £ 
+ (t■¿■ + ’1)^ L = 
d 2 y 
~dx 2 
Seriei 
[i6] 
X 
[8.] 
[Aus dem Tagehuch, Nr. S 2.] 
1 2 i 1 3 
■2 * +12 X 144 
1 «* 
[= « 
summam consideravimus invenimusque eam =0, si 
2 + -Jä — 1Ö24 • • • = ( Ä + t) TC L*)J 
Brunsvfigae,] Oct. 16. [1797 
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BEMERKUNGEN. 
Mit der Aufgabe, die »Summe« der divergenten Reihe 
(«) 1 — 1 + 2 ! — 3 ! + 4! — 5! -\ 
zu finden, hat sich Euler in seiner Abhandlung De seriebus divergentibus**) beschäftigt. Die Reihe ist, 
wie Euler (a. a. O. S. 213, § 13) bemerkt, »a WALLisio hypergeometrica dicta, signis alternantibus in 
structa«***). Im art. l. des vorstehenden Bruchstücks schließt sich Gauss ganz an Euler an., Euler 
bildet (a. a. O. § 19, S. 220) die Reihe [i], zeigt, daß sie formal der Differentialgleichung [2] genügt, stellt 
dann die allgemeine Lösung von [l] in der Form [11] dar und erklärt die »Summe« von (a) durch die 
Gleichung 
c = 1 — 1 -j- 2 — < 
x 
Durch Verwandlung der Reihe [i] in einen Kettenbruch (a. a. O. § 21, S. 2 2 4) findet Euler dann für c 
den Wert 0,5 963 473 621 237 f). Im Sinne von H. Poincare kann man die Beziehung der divergenten 
[*) In der Handschrift steht links vom Gleichheitszeichen im dritten Gliede \J. 3x statt \Jx*\ vergl. 
in den Bemerkungen S. 3 89 die Bestätigung der obigen Formel] 
**) Novi Commentarii Acad. Petropol. 5 (17 54/5) 1 7 60, S. 20 5 
***) Hypergeometrisch heißt nach J. Wallis [Arithmetica infinitorum, 1 655, Propositio 19 0.) eine Reihe, 
deren w-tes Glied das Produkt der n ersten Glieder einer arithmetischen Reihe ist. Auch Gauss bedient 
sich im art. 29 der Abhandlung circa seriem, Werke III, S. 159 dieses Kunstausdrucks. 
f) In den Institutiones calculi differentiatis, 1 7 55, Pars posterior, Cap. I, § io, III (L. Euleri Opera 
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