CO N VERGEH/ DER ENTWICKLUNG PERIODISCHER FUNCTIONEN. 401 
nie aufhören in einem endlichen Zwischenraum hin und her zu schwanken. 
Für unsern Zweck ist es jedoch nicht nothwendig, diese Unterscheidung noch 
weiter ins Einzelne zu verfolgen. 
Wir haben demnach drei Arten oder Ordnungen von unendlichen Reihen, 
oder da zwei dieser Arten wieder in je zwei zerfallen, fünf Ordnungen, nemlich: 
I. Divergente Reihen. 
II. Zwischen gewissen Grenzen stets schwankend bleibende Reihen. 
Endlich die zu einem bestimmten Grenzwerthe convergirende[n] Reihen, 
nemlich 
III. Reihen, die zu einem von 0 verschiedenen Grenzwerthe convergiren. 
IV. und V. Die zu 0 convergirenden Reihen, welche ich ohne weitern 
Zusatz convergirende Reihen nenne. In die V. Classe setze ich diejenigen, 
bei denen die successive Summation eine unendliche Annäherung an eine end 
liche bestimmte Grenze darbietet, in die IV. die, wo dies nicht Statt findet. 
Durch Addition zweier Reihen zu einander (indem man das erste Glied 
der einen Reihe zum ersten der andern addirt, das zweite zum zweiten u.s.w.) 
entsteht eine neue Reihe, über deren Classe sich folgendes sagen lässt. Die 
Addition zweier Reihen der fünften Classe gibt eine der fünften; die Addition 
einer der fünften zu einer der vierten, gibt eine der vierten, und allgemein 
bleibt die Ordnung ungeändert dieselbe, wenn eine Reihe der fünften oder 
überhaupt eine von höherer Ordnung hinzuaddiert wird. Man schliesst daraus 
leicht allgemein, dass durch Addition beliebig vieler Reihen eine Reihe ent 
steht, deren Ordnung mit der niedrigsten Ordnung übereinstimmt, wenigstens 
allemahl, wenn von dieser niedrigsten Ordnung nur eine unter den addierten 
ist: die Addition zweier oder mehrerer von gleicher Ordnung kann allerdings 
in speciellen Fällen eine von höherer hervorbringen. Hiemit hängt auch die 
Classification derjenigen Reihen zusammen, deren Glieder complexe Grössen 
sind. Man betrachtet die Reihe der reellen Theile, und die der imaginären 
jede für sich: gehören sie zu gleicher Ordnung, so setzt man auch die ganze 
Reihe in eben dieselbe, im entgegengesetzten Falle richtet sich letztere nach 
der niedrigem Stufe. 
Wenn man die Glieder einer unendlichen Reihe 
J2 = A, Ä\ Ä'\ A" u.s.w. 
XI. 
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