BEMERKUNGEN ZUR TRANSZENDENTEN TRIGONOMETRIE. 
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BEMERKUNGEN. 
Das als Scheda Af bezeichnete Heft enthält Aufzeichnungen, der verschiedensten Art, die, wie wider 
holte Datierungen zeigen, aus den Jahren 1801 bis 18 03 stammen. Da die hier abgedruckten Notizen fast 
am Ende des Heftes stehen, ist anzunehmen, daß ihre Abfassung in das Jahr 180 3 fällt. Neben der Auf 
zeichnung Nr. 99 des Tagebuchs: In principiis geometriae egregios progressus fecimus, 
Br[unovici 1799] Sept., und den Äußerungen in dem Briefe an Wolfgang Bolyai vom 16. Dez. 1799, 
(Werke YIII, S. 159) bilden die vorstehenden Notizen das älteste Zeugnis für GAUSSens Beschäftigung mit 
den Grundlagen der Geometrie; sie sind um so wertvoller, als es sich in ihnen um Versuche handelt, einen 
Zugang zu der transzendenten Trigonometrie zu gewinnen, von der GäUSS seinem Schüler 
Wächter bei dessen Besuch im April isie erzählt hat (Werke VIII, S. 176). 
Die Notiz [I.] enthält einen Ansatz, um für ein rechtwinkliges Drei 
eck, bei dem der eine spitze Winkel cu so klein ist, daß man in den 
Reihenentwicklungen nach Potenzen von со von den Gliedern dritter und 
höherer Ordnung absehen darf, Beziehungen zwischen den Seiten und 
Winkeln zu finden. Es sei also im Dreieck ABC der Winkel bei G ein 
Rechter und der Winkel tu bei A sehr klein; die Kathete А C werde 
mit A bezeichnet. Dann ist in erster Näherung: 
(1) BG = tocp (A), 
(2) ^f^ABG — 90° — со — соф (Д), 
wo cp (А), ф (Д) noch zu bestimmende Funktionen bedeuten. Die Winkel 
summe im Dreieck ABC ist 180° —соф (Д), also, wenn die Funktion 
ф (Д) positiv ist, kleiner als 180°. Um die unbekannten Funktionen cp (Д) 
und ф (Д) zu bestimmen, verlängere man AG um CG' — 6Д, errichte in C' auf AG' das Lot G'B', das 
die Verlängerung von AB in B' treffe, und ziehe ВC'\ der Winkel CBC' werde mit i bezeichnet. Dann 
ergibt die Anwendung der Formel (i) auf das Dreieck В CG': 
(3) SA = гср(соср(Д)). 
Das quergestreifte Dreieck in der Notiz [L], S. 451 soll auf den Inhalt des Dreiecks hinweisen. Dieser ist 
in der antieuklidischen Geometrie der Abweichung der Winkelsumme von 180° proportional. Mithin wird der 
Inhalt des Dreiecks ABC proportional соф(Д) und daher ist der Inhalt des Vierecks BGG'B' proportional 
собф(А). Nun ist das Viereck BGG'B', bis auf Größen höherer Ordnung, doppelt so groß wie das Dreieck 
В CG', dessen Inhalt proportional гф(шср(Д)) ist, folglich gilt die Gleichung 
(4) ш5ф(Д) = 2гф(шср(Д)). 
С 
dJ 
С 
Durch Verbindung von (3) und (4) gelangt man zu der Funktionalgleichung 
(5) 
Um sie zu lösen, setzt Gauss 
(6) 
ф.(Д) = ЩЩ-. 
cu cp (cu cp (A)) 
<P(A) = X'(A) 
und denkt sich x # (A) nach Potenzen von Д entwickelt: 
V 7 ; 
х'(Д) = «Д + -;