MANNIGFALTIGKEITEN VON U DIMENSIONEN. 
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ausgedrückt setzen: 
— Xi = Ki ÖMj -f- K 2 8 w 2 -f* • • • K n 8 u n , 
so wird der grösste positive Coefficient K n entscheiden, welche Grösse u n 
durch ihre Aenderung zur Verminderung der ursprünglichen Function am 
meisten beiträgt. Wir ändern deshalb diese, d. h. wir setzen u n ]> 0 statt 
u n — 0, und behalten also noch n — 1 Gleichungen u — 0 übrig, mithin auch 
^¡>0, 8m 2 2>0, ..., 8ii m _i ]> 0. 
Bezeichnen wir 8 2 # = 8(So?) mit S, so soll: 
£i *2 ~t~ • * • == — X 2 ; 
0 + SH — Min[imum] 
[sein]. 
BEMERKUNG. 
Daß Gauss sich mit »Mannigfaltigkeiten von mehr als zwei Dimensionen« beschäftigt hat, zeigt eine 
Andeutung am Schluss der Selbstanzeige der Theoria residuorum hiquadraticorum, commentatio secunda 
vom 23. April 1831, Werke II, S. ns, und bestätigt ein Bericht von Sartorius v. Waltershausen über 
ein Gespräch mit Gauss, das zwischen 184 7 und 185 5 stattgefunden hat. »Wir können uns, sagte er, etwa 
in Wesen hineindenken, die sich nur zweier Dimensionen bewußt sind; höher über uns stehende würden 
vielleicht in ähnlicher Weise auf uns herabblicken, und er habe, fuhr er scherzend fort, gewisse Probleme 
hier zur Seite gelegt, die er in einem hohem Zustand später geometrisch zu behandeln gedächte« (Gauss 
zum Gedächtnis, Leipzig 1856, S. 81). Daß diese Gedanken auf eine frühe Zeit zurückgehen, wird durch 
einen Brief Wächters an Gauss vom 12. Dezember 1816 wahrscheinlich gemacht, der eine zwischen beiden 
Männern im April 1816 statlgehabte Unterhaltung wiederspiegelt. Wächter schreibt*): 
»Vor kurzem suchte ich die Construction des Fundamentalkörpers, (das, was der Würfel für den 
Raum von 3 Dimensionen) allgemein für einen Raum von beliebig vielen Dimensionen. Ich fand, daß dieses, 
wofern eine gewisse Schlußart richtig ist, mit der Zahl der rechten Winkel um einen Punkt in der 
Ebene Zusammenhänge, daß nämlich der Raum n Dimensionen haben würde, wenn die Summe der rechten 
Winkel um einen Punkt herum = 2 B_1 , und daß dann die Zahl der Ecken des Fundamentalkörpers in 
diesem Raum von n Dimensionen] durch 2 n , die Zahl der Begränzungen der ersten Art von der Dimension 
(w*— l) für jede Ecke durch n, und die Zahl derselben, der Gränzkörper von der Dim[ension] (n —1), für den 
ganzen Körper durch 2 n, die Zahl der Begränzungen [**)] der zweiten Art von der Dim[ension] (w—2) durch 
in, sein körperlicher Inhalt, wenn die Seite L, durch L n , und seine Diagonale durch L \Jn gegeben werde. — 
*) Siehe P. Stäckel, F. L. Wächter, Mathematische Annalen 54, 19oi, S. 49, wo S. 61—69 der ganze 
Brief veröffentlicht ist. Werke VIII, S. 175 sind nur die auf die anti - Euklidische Geometrie bezüglichen 
Stellen abgedruckt. 
[**) In der Handschrift steht Berührungen.] 
XI. 
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