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TAGEBUCH MIT ERLÄUTERUNGEN. 
andern Stücken des Nachlasses feststellen. Man könnte daran denken, Z(i-f-ic) mit dem natürlichen Loga 
rithmus oder mit der in dem Specimen termini medii etc. (oben, S. 172) auftretenden Funktion, die im 
art. [3.] (oben, S. 174) mit l[\x) bezeichnet wird, zu identifizieren, d. h. also in der Umgebung von 
x — o zu setzen 
(1) 
*(t + x) 
2 3 4 
oder 
(2) 
rpi rpö Q 
Z(i-f-a;) = x 1 x 4 + 
4 8 112 1 
aber diese beiden Möglichkeiten scheiden aus, da, wie sich alsbald zeigen wird, für die beiden Funktionen 
(1), (2) das Anfangsglied der Entwicklung der ¿-ten Iterierten anders lautet, als GaüSS es angibt. Wir wollen 
vielmehr fragen, was sich aus dem GAUSSSchen Anfangsgliede für die Funktion l[i-\-x) erschließen läßt, 
wenn wir annehmen, daß diese Funktion in der Umgebung von x = 0 in der Form 
(3) l (i + x) = x a a x 2 -j- a 3 x 3 + • • • 
entwickelbar ist. 
Setzt man 
(4) I( i+X) = X l , l{ i + X 1 ) = X 2 , lil+Xi) = X i+i , 
so gilt für Xi = (x) die Funktional- oder Dififerenzengleichung 
(5) x i+1 = Xi 4- a t x* { + a 3 x] H , 
Diese Gleichung ist als besonderer Fall in der Gleichung 
(«) 
— «#»•+ 2 
(X — 1, p. = 0 ; X + p > 1) 
enthalten, die J. Horn unter der Voraussetzung a 4= 1 im ersten Teile seiner Abhandlung Laplacesche 
Integrale als Lösungen von Funktionalgleichungen*) untersucht. Den Fall a = i, der nach (5) gerade für 
uns hier in Betracht kommt**), hat Horn a. a. O. nicht behandelt; in einer brieflichen Mitteilung gibt er 
darüber die folgenden Erörterungen. Die Gleichung (5), oder wie wir schreiben wollen: 
( 7 ) «*+1 = + «m+1 x T +l + «m+2 X T + * + •’•> 
wo a m+1 t 0 se m soll, wird formal durch eine Reihe von der Form 
(8) 
Z+i 
(X, p = 0, 1, 2, ...) 
befriedigt, in der die Koeffizienten durch Rekursionsformeln bestimmt werden, bis auf G m0 , das als willkür 
liche Konstante (oder periodische Funktion von i mit der Periode l) anzusehen ist. Der Anfangskoeffizient 
G 00 ergibt sich, da 
, i 
Xi +1 Xi — C 00 ] i 4~ 1) m 
i 
_ m+i 
a m+1 af +1 -1 — a m+1 * m 4 
*) Grelles Journal für Mathematik 146, 1915, S. 9 5. 
**) Die Begründung dafür, daß hier nur die Form (5), also die Form (3) der Entwicklung von 
? (1 x) in Betracht kommt, geben wir weiter unten.