654 TAGEBUCH MIT ERLÄUTERUNGEN.
X
ff
9 X
9'"<27
0
0
1
1
T = 0 ’ 5
2—2/2 =0,6 137
0,5748
j- = 0,333 ...
3--|^3-~= 0,4 451 818
y = 0,666 ...
|-| ?3 + VT2 = 0 ’ 7 590
Tam complicatae evadunt, ut nulla spes superesse videatur.
Dazu ist folgendes zu bemerken. Wenn die erste Stufe der Kettenbruch entwicklung des positiven
echten Bruches M
M =
a -f- p.
ist, wo a' eine positive ganze Zahl und p wieder einen echten Bruch bedeutet, so können die positiven
echten Brüche M nach den Werten von a' in Klassen eingeteilt werden und die Werte einer Klasse
werden in abnehmender Folge durchlaufen, wenn p von o einschließlich bis l ausschließlich wächst; es
-1—, dessen Länge — ^— ist.
+ i «' a' -f- i
Nach der Fragestellung von Gauss werden jetzt die Zahlen herausgehohen, bei denen p zwischen o
und x liegt, wo ö<ic<l. In der Klasse «' sind dies die Zahlen zwischen -i- und . Sind diese
a' a! -f- x
i i
gleich wahrscheinlich, so liefert also das Intervall den Beitrag , und da das Gesamtintervall
a' a' + x
der Werte M die Länge l hat, so ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit in Übereinstimmung mit
der Gleichung [3] auf voriger Seite
sind die Zahlen des Intervalls von —- bis —
a a
(5)
P{ 1,®) = <p"(«)
2 i.,
a' = 1 ( a
a' + x
wenn (vergl. die Disquis. circa seriem, 1812, Werke III, S. 15 3)
d log II [x]
j = T(*)-T(o),
'F (aj) =
dx
die logarithmische Ableitung der GAUSSSchen 0-Funktion bedeutet. Damit ist die Angabe von Gauss in
dem Briefe an Laplace (siehe oben S. 372), daß P(i,£c) von der inexplikablen Funktion Eulers
i -j—-—|—-—f -
2 1 3
+
abhänge, bestätigt.
Beim nächsten Schritt wird
M
a"+v
gesetzt, wo a', a" ganze, positive Zahlen sind und v einen echten Bruch bedeutet. Man findet