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1 800 oct. 25 —1801 apr. 6. 
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art. 336. (ebenda, S. 413) voraufgehenden erst während der Drucklegung eingefügt worden*). Ein Beweis für 
Gauss’ Behauptung ist aber weder in seinen Veröffentlichungen noch in seinem Nachlasse enthalten, auch 
ist ein Beweis, der nur solche Hilfsmittel benutzt, wie Gauss sie im Jahre 1801 sonst angewandt hat, 
bisher nicht veröffentlicht worden. Es soll darum hier ein elementarer Beweis ohne GALOIssche Theorie 
gegeben werden; er gründet sich auf den folgenden Satz: 
Gegeben sei eine Gleichung J[x) = o vom w-ten Grade, deren Koeffizienten dem Rationalitätsbereiche 
P angehören und die in P irreduzibel ist. Eine Wurzel S, dieser Gleichung sei rational mit Koeffizienten 
aus P dargestellt durch die Größen p 1( p 2 , ..., p A , wo p x einer Gleichung Xj(x) = 0 genügt, deren Koeffi 
zienten P angehören, und die in P irreduzibel ist, p 2 einer Gleichung X 2 [x) — o, deren Koeffizienten dem 
durch Adjunktion von p x erweiterten Rationalitätsbereiche (P, p x ) angehören und die in diesem Bereiche 
irreduzibel ist u.s.w., endlich p Ä einer Gleichung X /c [x] = 0, deren Koeffizienten dem Rationalitätsbereiche 
(P, p x , p 2 , ..pj_ x ) angehören und die in diesem Bereiche irreduzibel ist. Dann ist das Produkt der 
Grade aller Gleichungen X t [x] — o, X 2 [x) — o, ..., X k [x) = o durch den Grad n von 
J[x) — 0 teilbar. 
Adjungiert man nämlich dem Bereiche P der Reihe nach p x , p 2 , ..., so sei p a die erste dieser Größen, 
durch deren Adjunktion J[x] = o reduzibel wird; die Wurzel genügt dann in dem Rationalitätsbereiche 
(P, p x , p 2 , ..., p a ) einer irreduziblen Gleichung, deren Grad n' kleiner als n ist. Es sei h a der Grad der in 
(P, Ri, h> •■■> pa—i) irreduziblen Gleichung X a (x) = o, der p a genügt; dann ist nach dem Satze von Kro- 
necker-Kneser**) = wenn h' a der Grad derjenigen irreduziblen Gleichung ist, die nach Adjunktion 
von zum Rationalitätsbereiche (P, p x , p 2 , ..., p ß _ x ) durch p (i befriedigt wird. Bei weiterer Adjunktion der 
auf p a folgenden Größen bleibe die Gleichung w'-ten Grades für £ x irreduzibel bis zur Adjunktion von p^. 
In dem Bereiche (P, p x , ..., p № , ..., p^) genüge £ x einer irreduziblen Gleichung vom Grade n" <n’. Be 
zeichnet dann hp den Grad der im Bereiche (P, p x , ..., p c , ..., p,?_j) irreduziblen Gleichung Xp{x) = o, der 
p^ genügt, und h'j den Grad der irreduziblen Gleichung, die sich für p^ im Bereiche (P, p 1( ..., p„, ..., p^_ x , $ x ) 
ergibt, so ist 
n' 
K 
Derart fortfahrend erhält man die weiteren Beziehungen 
K 
Da schließlich rational in p 1; p 2 , ..., p^ wird, also einer Gleichung ersten Grades genügt, so ergibt sich die 
Beziehung 
wo und h x der Grad jener irreduziblen Gleichung X x {x) — 0 ist, deren 
ttf-D __ h x 
l li' x 
Wurzel p T bewirkt, daß $ x rational bekannt wird, während h' x den Grad der irreduziblen Gleichung bedeutet, 
der p x in dem Rationalitätsbereiche (P, p lf ..., p ß , .... p x _ t , 5 X ) genügt. Die Multiplikation der gefundenen 
*) Yergl. auch den oben S. 121 abgedruckten Brief von Gauss an Gerling vom 6, Januar 1819, wo 
es (oben S. 12 5) heißt: »Alles hängt dabei von den Factoren der Zahl ^{p — l) ab; ist diese Zahl eine 
Potenz von 2, Z. B. p = 3, 5, 17, 257, 65537, so kommen bloß quadratische Gleichungen vor; hingegen 
z. B. für p = 31, wo \{p — 1) = 3.5, ist eine cubische und eine Gleichung vom 5. Grade unausweichlich«. 
**) Dieser Satz lautet wie folgt: Sind J t [x) = 0 und J 2 [x] = o zwei im Rationalitätsbereiche P 
irreduzible Gleichungen der Grade w x und n 2 mit den Wurzeln und 7] a und sind die Grade der irredu 
ziblen Gleichungen, denen nach Adjunktion von y] 2 und y] 2 nach Adjunktion von Tjj genügen, n\ und w 2 , 
so ¡ g t .ül — Siehe A. Kneser, Mathem. Annalen 30, 188 7, S. 19 5, Grelles Journal für Mathem. 
n\ ri 2 
106, 1890, S. 51, O. Holder, Mathem, Annalen 38, 1891, S. 309, G. Frobenius, ebenda 70, 1911, S. 457. 
Der Beweis, den Kneser im 10 6. Bande des CRELLESchen Journals für diesen Satz gibt, erfordert nur die 
einfachsten Hilfsmittel. Vgl. auch A. Loewy, Jahresbericht der deutschen Mathematikervereinigung 1917.