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GISS. 
DIE METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE. H 
begann er aber 
, die er 1806 in 
:hlands und seine 
Die Erwähnung dieser Schrift in der »Monatlichen Correspondenz« (Bd. XIV, 
S. 70) hat Gauss nicht veranlasst, sie kennen zu lernen, weil er bei seiner 
Methode der Bahnbestimmung ganz in der Kette seiner eigenen Ideen bleiben 
1805 und vor der 
unruhige waren, 
ihwierigkeit, einen 
ter der Bedingung 
wollte. Er erfuhr aber aus einer Bemerkung von Lalande, dass darin jene 
Methode enthalten sei und vermutete alsbald, dass sie mit seinem Prinzip 
übereinstimmte. Wie fern Gauss bei der Priorität von Legendres Veröffent 
lichung das Empfinden verletzter Eitelkeit lag, wie er vielmehr nach seinen 
i. 
ic Werkchen über 
iS moindres carrés 
eigenen Worten um der Sache und nicht um seiner selbst willen arbeitete, und 
dass er, wie Zimmermann von ihm rühmte, ein sehr edeldenkender und un 
interessierter junger Mann war, dafür ist die Übertragung der von Legendre 
ria motus corporum 
hode der kleinsten 
dieser Zeit bereits 
3i Annahme seines 
Mittels 'als Grund 
srücksichten unter 
angewandten Bezeichnung auf seine eigene Erfindung ein sichtbares Zeugnis. 
Am 25. November 1810 überreichte Gauss der Sozietät der Wissenschaften 
in Göttingen die Disquisitio de elementis ellipticis Palladis (Werke VI, S. 1), in 
der er die reduzierten Normalgleichungen aufstellt und damit zugleich die 
Bezeichnungen des nach ihm benannten Algorithmus 1 ) einführt, auch den 
Wert für das Minimum der Quadratsumme der Fehler angibt. 
s comètes avec un supplé- 
deux comètes de 1805. 
seihen Resultaten führen werden; aber man muss sie in der Weise vornehmen, dass die extremen Fehler 
ohne Rücksicht auf ihre Vorzeichen in möglichst enge Grenzen eingeschlossen werden. 
Von allen Prinzipien, die man hierfür vor schlagen kann, ist meiner Meinung nach das allgemeinste, 
genaueste und am leichtesten anwendbare dasjenige, das die Summe der Quadrate der Fehler zu einem 
Minimum macht. Hierdurch wird zwischen den Fehlern eine Art Gleichgewicht hergestellt, welches ver- 
ndre zusammengetroffen 
hindert, dass die extremen vorwiegen, und sehr geeignet ist, das der Wahrheit am nächsten kommende 
Ergebnis des Gleichungssystems erkennen zu lassen«. 
11t, das 18 08 auch von 
Nachdem er sodann angegeben hat, in welcher Weise die Gleichungen des Minimums (d. h. die 
Normalgleichungen) gebildet werden, weist er darauf hin, dass das arithmetische Mittel der einfachste Fall 
•ei Beobachtungen durch 
der Methode ist. Er fährt dann fort: 
»Bei der Bestimmung eines Punktes x, y, z im Raume, für dessen Koordinaten durch verschiedene Be- 
t sind, die Koeffizienten 
e mir zu diesem Zwecke 
rate der Fehler zu einem 
ffizienten vorhanden sind, 
h Methode der kleinsten 
onomie sein kann, wo es 
rn kann, zu erhalten, so 
ndung auf die Meridian- 
obachtungen a', b', c'; a", b", c"; ... gefunden seien, ist das Quadrat der Entfernung für die erste Beobachtung 
[a'-xf + (6'- yf -f [c’-z]'; 
aus allen n Beobachtungen erhält man für das Minimum der Summe der Quadrate der Entfernungen 
Ja fb Je 
n J n n 
woraus man sieht, dass der Schwerpunkt des Systems folgende allgemeine Eigenschaft hat; 
Teilt man die Masse eines Körpers in gleiche und genügend kleine Moleküle, 
um sie als Punkte betrachten zu können, so ist die Summe der Quadrate der Ent 
fernungen der Moleküle vom Schwerpunkt ein Minimum. 
Man sieht also, dass die Methode der kleinsten Quadrate in gewisser Weise das Zentrum erkennen 
itt notwendig eine Will- 
pothesen zu genau den- 
lässt, um das sich alle durch die Erfahrung erlangten Resultate in der Weise ordnen lassen, dass sie sich 
möglichst wenig davon entfernen.« 
i) Vergl, Helmert, Die Ausgleichsrechnung usw. 2. Aufl. i»07. S. 120. 
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