192 MARTIN BRENDEL, ÜBER DIE ASTRONOMISCHEN ARBEITEN YON GAUSS. 
3. Bahnverbesserung aus mehreren Oppositionen und mit Be 
rücksichtigung der Störungen. 
Legt man der Elementenverbesserung mehr als vier Oppositionen zu 
grunde, so erhält man mehr als vier Gleichungen der Form 37) und kann 
diese, wie die Gleichungen 43), nach der Methode der kleinsten Quadrate 
auflösen. Nimmt man auch auf die Störungen Rücksicht, so ist die Rech 
nung wesentlich die gleiche, nur muss man die gestörten Werte der Elemente 
benutzen. Das Verfahren, dass Gauss hier gewöhnlich an wandte, schliesst sich 
an das vorerwähnte an. Es soll hier ebenfalls auseinandergesetzt werden 1 ): 
Es seien i 0 , <ft 0 , tc 0 , cp 0 usw. die wahren und (¿ 0 ), (ft 0 ), (tu 0 ), (cp 0 ) usw. ge 
näherte Werte der mittleren oder Normal-Elemente, wie Gauss sie nennt. 
Indem man zu (¿ 0 ), (<Q, 0 ), (tu 0 ), (cp 0 ) die Störungen hinzufügt, erhält man die 
Näherungswerte für die gestörten (oskulierenden) Elemente, die mit (¿), [SV), 
(ic), (cp) bezeichnet werden mögen. Mit den letzteren berechnet man wie im 
vorstehenden (Gleichung 36) die mittlere Anomalie [M) und hieraus die mitt 
lere Länge [L) = [M) -j- (tt), so dass entsprechend der Gleichung 3 6) der wahre 
Wert der gestörten mittleren Länge ist 
44) L = (E)-|- (m-f- 1)Atc-f-zzAcp. 
Für die mittlere Länge gilt hier der Ausdruck 
45) L = £ -|— j' jj.dt. 
Fasst man die Störungen dieser Grösse als Störungen der mittleren Länge zu 
sammen, indem man setzt 1 2 ) 
o L — o e -f - ö f jji dt, 
so hat man 
46) L = £ 0 -{- got-f- oL = £o (p-o) t-f- o L 1. Ap. 
Zieht man also von (L) die Störungen 8L und die aus dem Näherungswerte 
von jx folgende mittlere Bewegung seit der Epoche t — 0 ab, wobei man 
setzen kann 
47) (£ 0 ) = [L)-hL-(ii 0 )t, 
1) Man vergleiche dazu Werke VII, 1906, S. 479—482, 486—488, 561—564. 
2) Nach Werke VH, 1906, Seite 480.