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MARTIN BRENDEL, ÜBER DIE ASTRONOMISCHEN ARBEITEN VON GAUSS. 
Zur Entwicklung von f 0 braucht man die der Grösse 
54) (a 1 2 -j-a' 2 — ‘laacosD) 2 = \ P 0 -fP' cos D-\- P" cos 2 D-(- ••* 
und zur Entwicklung von die der Grösse 
55) {a z a' 2 — 2aa cos D) 2 = *Q° -(- Q' cos D 
Ausserdem braucht man auch die Entwicklung von 
(a 2 -j-a' 2 — 2aa' cos D) 
. um die Ausdrücke für dR und {~j~j herzustellen. 
Schon Laplace 1 ) und vor ihm Euler 2 ) zeigten, dass sämtliche Koeffizienten 
dieser Reihen sich durch Rekursion berechnen lassen, sobald man P° und P' 
kennt, und auch Gauss leitet sich solche Rekursionsformeln ab. Sie sind 
hauptsächlich im Handbuch Bb, S. 16, entwickelt und linden sich auch an 
anderen Stellen des Nachlasses; abgedruckt sind sie Werke VII, 1906, S. 384. 
Zur Berechnung von P° und P' ist Laplace aber gezwungen, die bei nicht 
sehr kleinem a schwach konvergenten Reihen 
56) 
-'*• =. +(I)V+(^)V+(^)V + (L^)V + 
a'- 
a 
P' = 1 
2.4 
O , ^ 1.1.3 4 1.3 1.1.3.5 e I 
a ‘ a ' 2.4.6 a 4.6 ‘ 2.4.6.8 a 
zu benutzen, wo a = 
Gauss war infolge seiner Untersuchungen über das arithmetisch-geome 
trische Mittel im Stande, zur Berechnung dieser Koeffizienten ein sehr stark 
konvergentes Verfahren einzuschlagen, da P° nichts anderes ist, als das rezi 
proke arithmetisch-geometrische Mittel aus $[a-\-a) und \ [a — a), und auf 
ähnliche Weise auch P' gefunden werden kann. Ihm waren zu jener Zeit 
(1802) sicherlich die Integraldarstellungen 
p(«) _ _2_ a n+1 Z*" sin 2W ydy 
0,71 Jq \/l — a 2 sin 2 y 
geläufig und ebenso die Beziehungen dieser Integrale für n = 0 und 1 zum 
1) Mécanique céleste, t. I., S. 26 7 ff. 
2) Instituâmes calculi integralis I § 27 9. Leonhardi Euleri, Opera omnia, series I, vol. il, S. 165 ff.