GAUSS AN HELLWIG. 
209 
da nemlich die Summe der ganzen positiven Grössen x u[nd] y kleiner als 100 
sein soll, so wird schon dadurch die Anzahl aller Werthe von x und y auf 
eine endliche Anzahl beschränkt; man könnte also dem x der Reihe nach alle 
Werthe von 1 bis 98 inclus[ive] beilegen, und für jeden derselben y nach und 
nach die Werthe 1, 2... bis 99 — x incljusive] geben, jede dieser Combina- 
tionen (deren Anzahl = 4851) mit den zwei übrigen Bedingungen Zusammen 
halten, diejenigen, die mit einer derselben oder beiden nicht zusammenstimmen, 
aussch[l]iessen, so würden die zurückbleibenden die vollständige Auflösung 
geben. 
Diese Auflösungsart wird schon um ein Beträchtliches abgekürzt durch 
die aus II..folgende Bemerkung, dass y <( <C 74 also höchstens = 74; 
legte man also der Reihe nach dem y die Werthe 1 ... 74, dem x aber, für 
jeden Werth von y, diese 1, 2, 3 ... 99—^ bei, so würde die Anzahl der zu 
machenden Versuche auf 4551 gebracht. — Allein man sieht leicht, dass es 
nicht nöthig ist, bei einem bestimmten Werthe von y dem x alle Werthe 
zwischen jenen Grenzen beizulegen und sie mit den Bedingungen II., III. zu 
sammenzuhalten; nach II. muss ¿r-j-2y ein Factor von 29544 — 398y werden; 
ferner muss x -\-ly^>ly und <(#-|-2y-\-z d. i. <(100-}-^ sein, woraus man 
dann schliesst, dass, wenn man alle Factoren von 29544 — 3983/, welche zwischen 
den Grenzen 'ly und 100 -f-y liegen (exclus[ive]), der Reihe nach = x-\- ly setzt 
und daraus x bestimmt, man alle Werthe von x und y, die den beiden ersten 
Bedingungen Genüge leisten, vollständig bekommen werde. Diess ist das Ver 
fahren, was ich Ihnen als das kürzeste angegeben habe, wenn bloss die Be 
dingungen I., II. erfüllt werden sollen. Alle Auflösungen der Aufgabe lassen 
sich dann daraus ableiten, wenn man diejenigen Werthe von x u[nd] y allein 
zurückbehält, die auch der dritten Bedingung Genüge thun. — Übrigens lassen 
sich diejenigen Werthe von x u[nd] y, die bloss I., II. erfüllen, auch durch fol 
gende Methoden finden, und ich glaube behaupten zu können, dass sich keine 
Methode erdenken lasse (immer abstractione facta a conditione tertia), die 
nicht mit einer derselben im Wesentlichen übereinstimmte. 
Zweite Methode. 
Man setze x der Reihe nach = 1, 2, 3 ... 98; für jeden bestimmten 
lungetdenl Werth von x sammle man alle diejenigen lespective Fac- 
XII. 
27