GAÜSS AN HELLWIG.
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den gehörigen Substitutionen
\ — 199« — 597 tz — 398** +88500 i + 109144*— 6934400
~ tz
Der Werth dieses Bruches muss also eine ganze Zahl sein. Diess ist nun
gerade diejenige Seite der Aufgabe, wo sie mit wichtigem Untersuchungen in
Verbindung steht. Es folgt sogleich daraus, dass der Zähler des Bruchs so
wohl durch t als durch z theilbar sein muss; es muss also auch der Zähler,
wenn man die Theile, die z enthalten, weglässt, noch durch z theilbar sein, also
199ÍÍ— 88500 Í-}- 6934400 =N
durch z theibar. Nun wird
199ÍV = (199 ¿ — 4425 O) 2 — 578116900;
diess muss also durch 3, und daher auch durch jeden Divisor von z theilbar
sein. Hieraus lassen sich nach Principien der Hohem Arithmetik*) folgende
wichtige Folgen ableiten, die mir vornehmlich gedient haben, die dem jungen
Hildesheimer mitgetheilten Auflösungen zu finden:
1) Ist z gerade, so muss auch t gerade sein.
2) Ist z durch 3 theilbar, so darf t nicht durch 3 theilbar sein.
3) Wäre z durch 5 theilbar, so müsste auch t es sein; da nun aber
(S. 6 te Auflösung) 69344 — 398« durch t theilbar ist, so wäre es auch durch
5 theilbar, welches, wie man leicht sieht, nicht möglich ist. Daraus folgt
also, dass z nicht durch 5 theilbar sein dürfe.
4) Ist z durch 7 theilbar, so muss entweder t -f- 2 oder t -J- 3 durch 7
theilbar sein.
5) Ist z durch 9 theilbar, so muss auch entweder t-f-2 oder t-f-4 es sein.
6) Ist z durch 4 theilbar, so muss t es auch sein.
7) Ist z durch 11 theilbar, so muss auch entweder t oder t + 6 es sein.
8) Ist z durch 13 theilbar, so muss entweder f+ 2 oder í-f- 12 es auch sein.
*) Eine nähere Entwickelung dieser Ableitung wäre hier ohne die grösste Weit-
läuftigkeit nicht wohl möglich, da dieser Abschnitt der Hohem Arithmetik seine eigen
tümlichen Gründe hat. Ich habe ihm in meinen Disquis[itione]s ein eignes Kapitel [sectio
quarta] gewidmet, das die quadratischen Reste der Zahlen, oder die Divisoren solcher
Ausdrücke xx — a betrifft. Es ist einer der interessantesten Theile dieser Wissenschaft.
