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VARIA.
teiligten sich die Leser an der Lösung der Aufgabe. Freilich, die vollständige Reihe aller 9 2 Lösungen gab
nur ein Leser, ein Blindgeborner, an (s. ebda, Bd. 15, Nr. 378 v. 28. Sept. 1850, S. 207). Alle diese 92
Lösungen gab schon vorher Nauck selbst in Nr. 37 7 (Bd. 15, 21. Sept. 1850, S, 182), während er bei
Stellung der Aufgabe nur 60 Lösungen besessen hatte. — Weiteres über die Literatur des Problems s. bei
W. Ahrens, Mathematische Unterhaltungen und Spiele, Bd. I, 3. Aufl. 1921, S. 212.
Eine Ausdehnung der Fragestellung auf andere Schachbretter: von n 2 Feldern [n — 4, 5, 6, 7, 9, 10,
ll, 12 . . .) liegt nahe, und für die angegebenen, kleineren Werte von n sind die Lösungen ermittelt (siehe
Ahrens, a. a. O., S. 225ff.).
Über die acht, durch Drehungen und Spiegelungen ineinander übergehenden »Variationen« einer
Lösung, von denen Gauss im zweiten seiner Briefe spricht und die sich unter besonderen Symmetrieverhält
nissen auf 4, 2 oder l »reduzieren« könnten oder können, sei noch folgendes bemerkt: Eine Reduktion
auf l kann freilich — nach Art der »Bedingungen der Aufgabe« — tatsächlich nicht Vorkommen. Vielmehr
muss die Spiegelung zu jeder Lösung immer eine weitere, davon verschiedene Lösung hinzuliefern
(Ahrens, a. a. O., S. 222 und 249). Auch eine Reduktion der 8 »Variationen« auf nur 2 ist im Falle des
gewöhnlichen Schachbretts — und nur diesen Fall betrachtet Gauss ja — nicht möglich. Dagegen gibt
es für andere quadratische Bretter solche »doppelt-symmetrische« Lösungen, wie man diese Lösungen mit
der »Variationen«-Zahl 2 nennen könnte, sehr wohl, so beispielsweise bereits für n — 4 und n — 5 und viel
leicht überhaupt für jedes n = * mod 4, ausgenommen n = 8 und n — 9 (vgl. Ahrens, a. a. O., S.'250/25l);
über die Existenz »doppelt-symmetrischer« Lösungen s. insbesondre auch die Abhandlung von G. PoLTA
bei Ahrens, a. a. O., Bd. II (2. Aufl.), S. 370 ff.
Die Ausführungen von Gauss in dem dritten seiner Briefe dienen zu einem Teil der Widerlegung und
Berichtigung der vorhergegangenen, wenig durchdachten Entwicklungen Schumachers. Dieser Teil des
GAUSSSchen Briefes bedarf irgendwelcher Zusätze nicht; dagegen sei zu den sonstigen, bedeutsameren Aus
führungen von Gauss in diesem Briefe folgendes bemerkt: Bekanntlich stellt die Gangart der Königin im
Schachspiel eine Vereinigung von »Turm«- und von »Läufer« - Gangart dar. Sollen also die Forderungen
unseres Problems erfüllt sein, so muss sowohl der »Turm«-, wie der »Läufer«-Angriff ausgeschaltet sein. In
den GAUSSSchen Problemansatz (S. 2 5) — in die Schreibweise 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8—ist nun bereits die Un
möglichkeit eines »Turm«-Angriffs hineingelegt, und es kann sich daher für Gauss nur noch darum handeln,
auch den »Läufer«-Angriff auszuschalten, für den er ein arithmetisches Kriterium gibt. Eine invers
korrespondierende Methode, bei der also durch die Wahl der Bezeichnungen der »Läufer«-Angriff ausge
schlossen ist und bei der das Verfahren nun dazu dient, auch alle Fälle von »Turm«-Angriff auszuscheiden,
gab S. Günther {»Zur mathem. Theorie des Schachbretts«. Arch. f. Math. u. Phys. 56, 1874, S. 281—292).
Schliesslich noch ein Wort über die von Gauss für die Zwecke dieses Problems gewählte Felder
notation; a-{-bi usw.! »Wie gern er [Gauss] mit dem »i« arbeitete«, so sagt Stäckel*), »zeigt übrigens
auch sein Ansatz für das Problem der acht Königinnen, bei dem die Felder des Schachbrettes mit den
Zahlen a-\-ib [а, b = 1, 2 ..., 8) bezeichnet werden«. Es ist im gründe allerdings ziemlich nebensäch
lich, ob man sich unter dem »i« dieser GAUSSSchen Bezeichnung die imaginäre Einheit oder nur ein
Symbol zur Scheidung von »Zeilen«- und »Spalten«-Notation vorstellt. Auf jeden Fall aber ist Gauss’
Bezeichnung, wie er selbst sagt, »elegant« und auch geeignet, in manchen Spezialuntersuchungen wertvolle
Dienste zu leisten (s. Ahrens, a. a. O., Bd. I, S. 221, und Bd. II, 2. Aufl., S. 349).
Die obigen Figuren 3, 4 weichen insofern von Gauss’ eigenhändigen Skizzen ab, als Gauss die
Stellungen der Königinnen in den Eckpunkten eines quadratischen Gitters markiert, während sie hier in
üblicher Weise in die Felder eines Schachbretts eingezeichnet wurden. Ahrens.
*) P. Stäckel, G. F. Gauss als Geometer, Werke X, 2 Abh. IV, S. 69.