deux premiers chiffres du produit sont égaux, ainsi que les deux derniers,
le produit en question se termine par 99.
Remarquons maintenant que le produit peut avoir trois ou quatre
chiffres.
S’il a trois chiffres, il ne peut être que 999 d’après les conditions de
l’énoncé.
Or, en décomposant 999 en ses facteurs premiers, on trouve
893. — Parmi ces nombres de deux chiffres nous pouvons écarter les
nombres premiers tels que 11, 13, 17, ..., 97 qui n’admettent que deux
diviseurs.
Les nombres qui restent décomposés en facteurs premiers, ne pour
ront pas contenir plus de trois facteurs premiers distincts, car le pro
duit des quatre premiers facteurs 2, 3, 5 et 7 est déjà supérieur à 99.
Si les trois facteurs premiers distincts entrent à la première puissance,
comme dans les nombres
nous aurons 2 X 2 X 2 = 8 diviseurs.
Mais l’un des facteurs premiers peut entrer avec l’exposant 2, comme
dans les nombres
2L3.5 = 60 et 2.3 2 .o = 90,
qui sont d’ailleurs les seuls de cette forme. Le nombre des diviseurs
est alors
3 x 2 X 2 = 12.
999 = 3 3 x 37 = 27 x 37.
D’où une première solution de la question.
Si le produit a quatre chiffres, il est de la forme ««99 — multiple de 11.
Or 11 est un nombre premier, donc nécessairement l’un des deux nom
bres cherchés admet 11 comme diviseur, de sorte que l’un de ces nombres
est 77.
Ln multipliant 77 par l’autre nombre qui est terminé par 7, le premier
produit partiel est 77 x 7 = 539. Le produit total étant terminé par 99,
le second produit partiel est terminé par 6. Or, le seul chiffre qui multi
plié par 7 donne un produit terminé par 6 est 8; 87 est donc le second
nombre cherché.
D’où comme seconde solution de la question les nombres 87 et 77.
2.3.5
= 30; 2.5.7=70,
Considérons maintenant les nombres de deux chiffres qui, décom
posés en facteurs premiers, ne fournissent que deux facteurs premiers
distincts.
Si les deux facteurs premiers figurent tous les deux à la première puis
sance, les nombres considérés n’ont que 2x2 = 4 diviseurs.
NOMBRES CREMIERS
