NOMBRES PREMIERS
facteur a entre dans le produit P. Si je suppose que, en divisant p par «,
j’aie m pour partie entière du quotient, le nombre A entre dans le pro
duit P avec l’exposant m.
3° Enfin, je suppose que le nombre A est un nombre composé de la
forme
= a“.$.c1.
Je cherche alors les puissances de chacun des facteurs premiers a, 6, c
qui entrent dans le produit P ; je trouve que ce produit contient l’expres
sion a p x b q x c r ; cela posé, toute puissance entière de A est de la
forme a wn x b$ m x cT n ; il faut donc que l’exposant uni soit au plus
égal à p ; que j3.m soit au plus égal à q, que y.m soit au plus
égal à r.
Je cherche la plus haute puissance de chacun des facteurs a, b, c, qui
entre dans le produit P; et divise chacun des exposants ainsi obtenus
par l'exposant du facteur correspondant de A. Le plus petit des quotients
ainsi trouvés est l’exposant de A dans le produit P.
Je suppose par exemple, A — 64 800 ; n = 63. Eu décomposant A en
facteurs premiers, je trouve
A = 2 5 .3 4 .5 2 ;
d’autre part, dans le produit
P=lx2x3x4x ... X 64 x 65
je trouve le produit 2 G3 x 3 30 x 3 15 ; or, le quotient de 63 par 3 est 12, le
quotient de 30 par 4 est 7, le quotient de 13 par 2 est 7.
Donc le nombre 64 800 entre dans le produit considéré avec l’expo
sant 7, et pas avec un exposant supérieur.
Corollaires. — 1° Je considère le produit
m = b. q -f r,
et, j ai bien évidemment
Vi > ( l
{m -f- 1) {ni + 2) (m + 3) ... (m -f- p).
Ce produit est le quotient du produit des (m 4- p) premiers nombres
entiers par le produit des m premiers nombres ; je pourrai donc décom
poser en facteurs premiers le produit des (m 4- p) premiers nombres, et
diviser par le produit, également décomposé en facteurs premiers, des m
premiers nombres.
Soit un facteur premier A supérieur h m ; il ne se trouve pas au divi
seur, et, par suite, il sera au dividende avec son exposant propre, expo
sant que j’obtiendrai d’après la règle précédemment déterminée.
Au contraire, je prends un facteur premier b inférieur à m ; j’aurai
