CHAPITRE XV 
0B8 
La condition S 4 4- S 2 + S 3 = S 4 devient par suite, après suppression 
du facteur positif 
x [x + 1) 
2 
. 2x + 1 . x (x + 1) (2a? + 1) (3a? 2 + 3a? — 1) 
+ 3 2 — 15 
ou finalement 
4a? 3 -f- x 2 — H .x — 14 = 0. 
Le premier membre s’annulant pour x = 2 peut se mettre sous la forme 
(a? — 2) (4a? 2 + 9.a? + 7). 
Le second facteur étant positif, ce produit ne peut devenir nul que 
pour a? == 2. 
989. — Rappelons les formules de sommation 
4.S, — S, 
4. s: 
— S S 
3 ^ ^ (48,-1): 
n 2 (n + l) 2 
12 
(2n 2 -f-2n— 1) : 
ou, plus simplement, celles de l’équation 
2 n 2 + 2n — 1 = 3 y 2 
d’où 
(2 n + l) 2 = 6 ij 2 + 3. 
La question est ainsi ramenée à chercher les valeurs de y qui rendent 
6y 2 + 3 carré parfait. 
Or si l’on fait attention que ; 
1° Le chiffre des dizaines d’un carré terminé par 9 est nécessairement 
pair ; 
2° 6y 2 + 3 se termine toujours par 3, 7 ou 9 ; 
3° 6y 2 -f 3 pour être carré, doit alors se terminer par 9 ; on est conduit 
à chercher les nombres y parmi ceux de la forme 10.m + 1. 
La série des nombres 10.m -f 1, en particulier, donne, pour y =■ 1, 
6// 2 + 3 = 9 
d’où 
2n + 1 = 3, n = 1 
et pour 
y = 11, n — 13. 
En effet, la somme des cinquièmes puissances des 13 premiers nombres 
entiers est 1002001, carré de 1001. 
H. Brocard.