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CHAPITRE XVT 
998. — Voir Roüse Hall. Récréations mathématiques et problèmes des 
temps anciens et modernes. Edit, française, tome 1, p. 178. 
999. — La solution de cette question est donnée dans les Récréations 
mathématiques de Rouse Râle, tome I, p. 214, ouvrage auquel nous 
avons déjà plusieurs fois renvoyé le lecteur. 
1000. — Soit b la base du système de numération. 
Le nombre direct est : 
(1) bv~ l .a + bv~ 2 (a + ni) + b p ~ 3 (a + 2m) + #• • + 
4- [a + {q — 1) m] +...+ 
-4- b 2 [a + {p— 3) m] -f b [a + {p — 2) m] 4- 6° [a + (p — 1) ni \- 
Le nombre renversé s’écrit : 
bP~ l [a + {p — 1) m] + bv-* [a + {p — 2) m] + ... + 
4- b p ~ q [a 4- {p — q) m] 4- • • • 4- b- (a 4- 2m) 4- b (a 4- m) 4- b Q .a. 
On a, par suite, en représentant par D,, la différence 
D* = m [bp~ l (jo — 1) 4- bP- 2 {p — 3) 4- bp~ 3 {p — 5) 4- ... 4- 
_j_ ¿p-q [p — (2q 4- 1)] 4- • •. + b 2 (5 — p) + b (3 — p) 4- b° (1 —/))]. 
Cette différence est indépendante du premier chiffre a, elle est donc 
constante. 
Remarque. — Si p est impair, la différence est divisible par b db 1 ; 
si p est pair, D* est divisible par b — 1, mais ne l’est pas par b + 1. 
Application. — D/, = 41 976, p = 3 et m = I. 
ou 
d’où 
41 976 r= 4.¿d 4- 2.b 3 — 2b — 4, 
2¿d 4. b 3 — 0 — 2 = 20988, 
b 4 
20 990 __ b' 3 — b 
2 2 
= 10493 — 
b 3 — b 
2 
Mais b 3 — b^> 0, 
donc b 4 <C 10495, 
et a fortiori, /> 4 < 14 641 ou 11 4 , 
d’où b ■< 11. 
D’ailleurs b 3 — b < b 3 < b* 
donc 
3/d > 20 990 et 
.. ^ 20 990 
» > —o— ; 
a fortiori ¿» 4 > 6 919, c’est-à-dire /d 7> 83 2 > 81 2 ou b >> 9.