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DES DIFFÉRENTS SYSTÈMES DE NUMÉRATION 645
Quant aux nombres de la deuxième catégorie, ils s’obtiendront en
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retranchant de/r' î + 1 tous les nombres moindres que - p n + l , ce qui donne
encore la formule (1).
1007. — Un nombre quelconque élevé à une certaine puissance se
termine par le même chiffre que la puissance d’exposant égal de son
dernier chiffre. Il suffit donc de considérer les puissances des nombres
n, n 4- 1 et n — l écrites dans le système de base 2n.
1° Si n est impair, on a, en observant que toute puissance d’un nombre
est de même parité que ce nombre
n*-
2k -f 1 et n p = (2k -J- 1) ??, = k.2n -(- n.
La puissance n* se compose ainsi de A’unités du second ordre et de n
unités simples.
Si n est pair, on a
n p ~ i = 2k et n v = 2k.n — k.2n
n p ne renferme alors que des unités du second ordre et se termine par 0.
2° Si n est impair, n + 1 est pair. On peut donc poser :
(n -f l)?- 1 = 2k, d’où (n -f 1)* = 2k («, + 1).
Retranchant membre à membre, il vient :
(n + — («+ 1)»— 1 = k.2n ;
d’où cette conclusion que deux puissances consécutives de (n + 1) se
terminent par le môme chiffre. Ce dernier chiffre, qui ne change pas
d’une puissance à l’autre, est égal à celui de la première puissance de
n + 1, c’est-à-dire à n + 1.
Si n est pair, n + I est impair, et l’on peut écrire
(n -f 1)p —1 = 2k + d, (n + 1 y — (2k + 1) (« 4- 1) ;
d’où, par soustraction
(n -f \) p — (n 4- 1)p— 1 = k.2n 4- n.
Cette égalité montre qu’en passant d’une puissance de {n -f- 1) à la
suivante, le chiffre des unités augmente ^de n. La première puissance de
(n 4- 1) se terminant par n 4- 1, la seconde puissance sera terminée par
2n -f- 1, ou I ; la troisième puissance par 1 4- n ou n 4- 1 ; et ainsi de
suite, alternativement.
3° La démonstration est analogue à la précédente, mais au lieu de
retrancher entre elles les puissances (n — l)^- 1 et (n — 1)^, on doit les
ajouter. Les chiffres qui terminent ces puissances deviennent ainsi les
compléments à 2n ou à n, suivant que n est impair ou pair.
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