DES DIFFÉRENTS SYSTÈMES DE NUMÉRATION 
647 
Cela étant, si m.n est un multiple de rf, plus 1, on a : 
m, A 4- 1 
>>i ± • 
de même 
m?.n 3 = w 3 d + 1 
m p .n p = m p .d -P 1 
m p = —i 
m p d 4 \ 
n p 
Dans l’expression (1) remplaçons m p . m p ~ 1 . .. ., m 3 , m 2 , m par leurs 
valeurs et réduisons au même dénominateur ; il vient : 
^ m'.d 4 a 4- b.n 4 • • • 4- h.n p ~ l 4 l.n p 
n p 
c’est-à-dire 
A .n p — m' .d + B. 
p 
Mais de ce que m.n — mult. d 4 1, on en conclut que n, et, par suite 
n p sont premiers avec d. 
Donc si B est un multiple de d, il en est de meme de A ; si a? ne divise 
pas B, il ne divise pas A et, inversement, si d ne divise pas A, il ne divise 
pas B. 
1013. —Représentons par «, è, c les trois chiffres, et par r la base 
du système. 
Les nombres sont 
r i a q_ r .b 4 c, r*b 4 r.c 4 a, r 2 c 4 r.a 4 b. 
Si ces trois nombres forment une progression arithmétique, on a 
r 2 (a 4 c) 4 r {a 4 b) 4 b 4 c = 2 (r 2 b 4 r.c 4 a) 
d’où 
a ( r * _j_ r _ 2) 4 b (— 2r 2 4 r 4 1) 4- c (r 2 — 2r 4 1) = 0 
ou encore 
a (r 4 2) (r—1) — 6(2r4l)(r — l)4c(r—l) 2 = 0 et r — 4 4 0. 
Donc 
a ( r + 2)-é(2r4l) + c(r-l) = 0 
d’où l’on tire 
3 
par exemple.